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 » Cela posé, la fonction F{z)/{oe — z) sera une fonction doublement 



périodique de z aux périodes — et 2/K', et, en écrivant que la somme 



des résidus à l'intérieur du parallélogramme des périodes est nulle, on 

 parvient à la formule de décomposition 



¥{x) = v[A„/(a- - n) + A, D,,/(a- ~ fl) + . . . + A„D:./(a; - «)]; ^ 



par conséquent, on aura aussi 



f¥{x)ctcc --ZZ lfA„/{x - a)da:-hl[k,f{x-a) + . . . + A^D'^ '/(x - a}]. 



» La seconde partie du second membre est évidemment une fonction 

 doublement périodique, aux périodes 2 R et 2 iK' ; pour évaluer la première, 

 je remarque que 



jj\x - a)dx 

 peut s'écrire 



jj[x-a)dx--^j[z[x-a)-z{.x--a-'^)'\dœ 



-H(, + *)/[z(..-.-f)-z(..-«-i^)]./..+ ... 



m 



■i I m 



L\x — a— — au7, 



L '« J ) 



et l'on est ramené à des termes de la forme 



rrZ(a - h) -Zir-h- 



9.K 



dx 



, n{x — b] I , 



H I ,; - i 



H .<: -b- 



•2K 



] 



et la fonction sous le signe logarithme est manifestement une foiicliou 

 doublement périodique aux périodes 2K et 2/K'; d'où résulte la proposi- 

 tion annoncée. 



» Soit F(a) une fonction telle que celles qui viennent d'être définies, et 



soit 



sua; =^ t; 

 on aura 



