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 9 désignant une fonction rationnelle, et l'intégrale 



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s'exprimera au moyen de symboles élémentaires. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les cqiiations différentielles linéaires à coejfi- 

 cienls doublemenl périodiques. Note de M. G. Floquet, présentée par 

 M. Hermite. 



« Soit l'équation différentielle linéaire 



à coefficients doublement périodiques, aux périodes w et w', et dont l'in- 

 tégrale générale est supposée uniforme. 



>> Faisant abstraction de la période w', je regarde les coefficients comme 

 périodiques, de période w. Je suis ainsi dans un cas que j'ai étudié (' ). 

 J'en conclus l'existence de m solutions distinctes de la forme 



P(j?) = ^„(x) + X(f,{x) + x-<^.,[x) + ... + X'(9i[x), 



les fonctions Ço, ?., • • -.yiSe reproduisant à un même facteur constant près, 

 par le changement Aq x en x + w. Ce facteur est racine d'une certaine 

 équation algébrique A = o, que j'ai appelée V équation fondamentale relative 

 à la période co. Soient s,, s^, , . , 2„ ses ii racines distinctes. Chacune d'elles 

 £, a deux caractéristiques, son degré de multiplicité /u,/, et l'ordre X, à partir 

 duquel les déterminants mineurs de A cessent d'être tous nuls pour £,. La 

 première |u,, représente le nombre maximum des solutions distinctes qui 

 sont de la forme V{x) avec le multiplicateur e„ et la seconde 1, le nombre 

 de celles S(j:), qui sont telles queS(x 4- w) =£,S(a7). En désignant parv 

 la somme X, -\-\n +... + 1,,, P r= o admet comme intégrales distinctesv fonc- 

 tions S[x), et seulement v, par exemple S, [x], S^ia-), . . . , S^! .r). 



» Si je n'envisage maintenant, dans les coefficients p, que la période w', 

 j'en conclus pareillement m solutions 



[' ) Annales de l'École Normale (février et mars l883) 



