( ^9 ) 

 G) ,»',,... ç), se reproduisant à un même facteiu- constant près p ar le chan- 

 gement de X en x + w'. Les caractéristiques u.\ et 1\ , fA'^ et X',, . . . , fi.,',, et 1^ 

 des n' racines distinctes de V équation fondamenlnle A' = o, relative à la pé- 

 riode w', jouiront de propriétés analogues aux précédentes, et P = o ad- 

 mettra v' solutions S', (a?), S!^{x), . . .,S',.(x), telles que S' (.r + o/) = i.'S'{x), 

 v' désignant la somme V, 4- V^ + . . . -H !'„,. 



n Cela posé, en considérant simultanément les deux périoies w et w', 

 on reconnaît sans peine que, hi, parmi les v intégrales S{x) ou parmi les 

 v' intégrales S'{x), une fonction se trouve seule de son multiplicateur, elle 

 est doidîlement périodique de seconde espèce. Comme, en général, une 

 des équations fondamentales aura ses racines toutes différentes entre elles, 

 on peut dire que, en général, P = o admet comme solutions distinctes 

 m fonctions doublement périodiques de seconde espèce. C'est le beau théo- 

 rème de M. Picard. Soit N le nombre maximum des solutions distinctes de 

 celte nature. N ne peut surpasser ni v ni v'; mais il ne peut être inférieur 

 ni h n ni à 7i', de sorte que ce nombre est toujours aumoinségal à l'unité, 

 comme l'ont démontré aulremen! MM. Picard et Mittag-Leffler. Voici les cir- 

 constances où N est exactement égal à m. Il Jaiit et il suffit (j ne toute racine de 

 citaque équation fondamenlnle annule tous les mineurs du premier membre 

 jusqu'à l'ordre marqué par son degré de multiplicité exclusivement. Les limites 

 V, v' et n, n' du nombre N, et certaines interprétations qu'on peut en 

 trouver, donnent d'ailleurs divers théorèmes, parmi lesquels celui-ci, qui 

 complète le précédent : quand un seul des nombres y) et v' est égal à /«, N est 

 égal à l'autre. 



» Quelle est la forme des intégrales qui ne sont pas doublement pério- 

 diques de seconde espèce? Pour l'obtenir, je montre l'existence d'un sys- 

 tème fondamental de solutions susceptibles chacune des deux formes P(x) 

 et V'{x). Il s'agit alors d'exprimer une fonction capable de ces formes. 

 J'établirai, dans une autre Note, queson expression est un polynôme aux deux 

 variables X etZ[x), ayant pour coefficients des fondions doublement périodi- 

 ques (le seconde espèce, de mêmes multiplicateurs. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUiî. — Sur une notation propre et repiésenter certains 

 développements. Note de M. R. Radau. 



« Pour représenter, sous une forme condensée, les polynômes hyper- 

 géométriques, on peut se servir avec avantage de la notation de Vander- 



