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ANALYSE MATtiÉMATiQur:. — Sur le genre de quelques fonctions (nticrcs. 

 Note (le M. Laguebre, pivseiitée par M. Ossian Bonnet. 



« Je considère une fonction entière F(x) du genre n, et je suppose que 

 l'équation Y{3c) = o ait toutes ses racines réelles, ou, du moins, ait un 

 nombre limité de racines imaginaires. 



» Soient |3,, jBoj ■ ■ ■■> ^k 'es racines imaginaires de cette équation ; je sup- 

 pose, pour fixer les idées, que le nombre des racines réelles négatives soit 

 limité et, en les rangeant par ordre croissant de grandeur, je les désigne 

 par «1, «2, . . .. 



» En posant 



m 



^-w = ''•'-•"'■■■ (■ - ^) (■ - r) - (■ - s) n (' - .-)• 



où les fl,- désignent des quantités variables dépendant de la valeur du 

 nombre entier m, on a évidemment 



F(x) = limF,„(.r) 

 et 



F'„,(x) est une fonction de la forme 



e'""-^"=''-^--^""'"$,„(a;), 



où ^ml-^) fst un polynôme entier. 



» Les racines de l'équation $m(a') = o sont les mêmes que celles de l'é- 

 quation 



F' 



ou encore de l'équation 



a, -+- la.^x + . . .-+-na„a: 



72— ( 



Pi -r-h ^-P 





cette équation, mise sous forme entière, est du degré (k + m -h n — i). 



» Elle a [in — i] racines réelles respectivement coniprises entre les 

 nombres a, et «a, «o et a,, a, et a,, . . ., et qui, quelle que soit la valeur 

 attribuée au nombre entier m, demeurent comprises entre des limites par- 

 faitement déterminées; ces racines, je les désignerai par les lettres 



7i» 7^» 73' • • •» 7'n-f 



