( 8o ) 



» Les k + n auties racines peuvent èlre réelles ou imaginaires, et la va- 

 leur (le leur module put croître indéfiniment avec le nombre iw, elles sout 

 essmliellement en nombre limité, et je les désignerai parles lettres 



I, 'J21 • • •, 'J/y^n- 



« On a donc, en désignant |)ar A,„ un nombre dépendant du nombre 

 entier m. 



$,„(.)= A,„n('-^-)n('-j 



■) Le facteur fjf i — yj a pour limite un polynôme entier M(j), dont 

 1 

 le degré est au plus du degré {/c -h n); il peut être d'un degré moindre, s 

 plusieiu-s valeurs de c?, croissent indéfiniment avec le nombre m. 



» On aura donc 



m-l 



F'( :r ) = 1 i m r ;„ ( ,r ) = vjr ( ^ ) 1 i ,„ g^. .• .„, ,■•- :-. .^-„„ ..... ^^ ^^_ -q j^ ^ 



1 



et, comme chacune des quantités y,- demeure comprise, quel que soil le nombre 

 entier m entre deux limites déterminées, il est clair que la limite du produit 



m — I 



1 



est une fonction entière du genre n. 

 » D'où cette conclusion importante : 

 » La dérivée ¥'{x) est une fonction entière du genre n. 

 » 2. L'équation 0,„(a-) = o ayant au plus k + n racines imaginaires, on 



voit, à la limite, que l'équation 



F(^) = o 



a également, au plus, /c -h n racines imaginaires; ce nombre étant essentiel- 

 lement limité, il en résidle que F"{x), F"'{.v), .:., et en général toutes les 

 dérivées de F(x), sont du genre 7?. 



>) La démonstration précédente suppose expressément que le nombre 

 des racines imaginaires de l'équation F{x) = o est limité ; il est probable, 

 toutefois, que le théorème subsiste encore, même dans le cas où elle a une 

 infinité de racines imaginaires; mais, jusqu'à présent, je n'ai pas réussi à 

 en obtenir une démonstration riootu'euse. 



