( cS. ) 



)) 3. Ou rtablirait, comme ci-de'^siis, la proposition plus génf'rale qu 

 suit : 



» F(.r) (lési(jnnnl une fonction entière du genre ?i, n'aihnellanl qn'tin nombre 

 liinilé de fiicletirs iniarjinnires, la fbnctio)i suivante : 



fi„ F(.r) + R, V'{x) -h 02F"(^) + ... 4- HAF"".r, 



oii h i/ésigne un nombre entier quelconque , et ©p, 0,, . . ., 0;^ des polynômes 

 entiers à coefficients réels ou itnaginaires, est une fonction entière du genre n. m 



GÉO.MÉTKIE. — Sur le limaçon de Pascal. Note de M. A. Genocchi. 



« Dans nn récent miméro des Comptes rendus (l'j décembre i883, 

 p. 1/124), on a remarqué qu'une transformation, indiquée par Chasies pour 

 obtenir h s ovales de Descartes, donne seulement des Hmaçon.s de Pascal. 

 Cette remarque est juste, mais n'est pas nouvelle. M. Cayley l'avait 

 déjà publiée en i85o dans le Journal de Liouville. J'y suis revenu en i855 

 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, p. 206, où j'ai montré qu'em- 

 ployant les coordonnées polaires p et w, si l'on remplace p par —p- et w par 



a'j, on transforme les courbes appelées limaçons en cercles; j'ajoutais : 

 « Réciproquement, on transformera les cercles en limaçons, en remplaçant 

 » p et co par s/nTp et ^oj. Ainsi il est visible que ce moyen, employé par 

 » MM. Chasies et W. Roberts, pour obtenir les ovales de Descartes, fournit 

 » seulement le limaçon de Pascal, comme l'a remarqué M. Cayley (^Journal 

 n de Liouville, t. XV, p, 3.5/|). Il s'ensuit, en particulier, que l'ovale men- 

 » tionné dans le tbéorèine, dont M. P. Serret a indiqué la démonstration 

 » dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, t. IX, p. 821 , n'est aussi 

 » qu'un linuiçon. « Je rappelais aussi (p. 204) que cette courbe est en 

 même temps une conchoïde circulaire et uneépicycloïde, et qu'elle a été étu- 

 diée par Quetelet comme la caustique secondaire par réflexion dans le cercle, 

 quoique la dénomination de limaçon de Pascal, introduite par Roberval, 

 soit restreinte dans le Mémoire de Quetelet à un cas particulier. L'équation 

 polaire d'un ovale de Descartes étant 



p- — 2|2(rtC0SW + ^) = /(-, 



j'en déduisais celle du limaçon par deux bypollièses distinctes, savoir en 

 supposant ^ = o et A = — {a — b)- ou k = — [a-hb)-, suivant que a 

 et b sont du même sij^ne ou de signes contraires. J'obtenais ainsi deux 



