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 de sorte qu'on aura 



11(0- -h oi) ~ u.(x), u'(x-hi'>) — u'{x) — <j>, 



u[x + w') = u[x) — w', il'[x + w') = u{x), 



« Soit alors F(a;) une fonction capable des deux formes 'r(.r) et 'r'(x). 

 avec les multiplicateurs s et s.'. 



» î'(x) = çio(a:) +. . .4- a;'?, (a?) étant de degré quelconque /, je suppo- 

 serai d'abord <S'{x) du degré zéro, auquel cas il vient 



f„{x-^r w') + ... + (^4- w')'<p,(a: + w') = i'[^fo{^') -^ ■ ■ --^ x'?i{-^)]- 



» En identifiant, on obtient i -+■ 1 équations qui dotinentles expressions 

 de<p,(a;), ?,-,(x), . .., (po{.r). La première de ces expressions montre que 

 (pi{!v) est doublement périodique de seconde espèce. La seconde conduit à 



t p,-i(^ + (■)') _ fi-i (^i _ . , 



'1 T~~ I \ ^ f 



ip,-(.r-t- w J tf,lJ:j 



et, par conséquent, la fonction 



qui admet la période w, admettra aussi la périotie oj'. J'en déduis 



W(,„(ar) désignant!}), (a;), et w,o(a.-) étant doublement périodique de seconde 

 espèce, comuie Woo(x). On aura pareillement 



(pi-2{x) = CT2o(j^')+ '-^-C3,o(a-)ji+. ..-1- ' t^a ' ^oo(-^)"% 

 et finalement 



Si l'on substitue ces valeurs des fonctions f dans l'expression U'(x), en 

 ayant égard 'au + x = — u', on trouve 



F(x) = 5ro(^) +îy,(x)H'4- w,(a7}^f'- + ...4- w,(a;)M'', 



où les z7(j:) sont doublement périodiques de seconde espèce, aux multipli- 

 cateurs eet s', et où zSi{x) est égal k (— i)'ip,(a'). 



» Le cas où 'l'(^) serait du degré zéro, et <S'{x) du degré /', se conclut: 



