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par analogie 



(i) r(£c) = 5y'y(a;) 4- zs\{jl')u ■+- . . .-h zs^jc) u''. 



» Quant au cas général des degrés /et /'quelconques, il se ramène aux 

 précédents. Je démontre, en effet, que <p/(.r), g5,_, (x), . . ., 9o(-^) sont alors 

 de la forme '-^'(a;), avec le multiplicateur s', mais avec des degrés respec- 

 tivement égaux ou inférieurs à i', Z'+i, .. ., i'-\-i. Ces fonctions m sont 

 donc des polynômes en u tels que (i). En les substituant dans ^S{x), puis 

 remplaçant explicitement x par son identique —[u-j-ii'), on obtient 

 pour F(a7) un pol3nôme Si{u, u') aux deux variables u et ;/ ayant pour 

 coefficients des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, de 

 mêmes multi|)licateurs £ et s'. Ce jiolynôme est au plus du degré i -}- U . Il 

 est toujours de degré i' par rapport à u, et de degré i par rapport à u' . 



» En appliquant ces considérations aux intégrales de l'équation 

 P{j-) = o, on arrive aux résultats suivants : 



» P := o admet toujours, comme intégrales distinctes, m polynômes A. Leurs 

 multiplicateurs sont les racines des équations fondamentales. Un polynùiue qui 

 appartient aux multiplicateurs i et £', racines multiples d'ordres p. et p.', est de 

 degré inféiieur à p.' par rapport à u et de degré inférieur à p. par rapport à u'. 

 N de ces polynômes sont indépendants de u et de u', v — N de n', et v — N de 

 M, de sorte que ce système fondamental renjer me à la fois les intégrales distinctes 

 simplement périodiques de seconde espèce, en nombre maxinninij j)our cliaque 

 période, et, parmi elles, toutes les solutions doublement périodiques de seconde 

 espèce. 



» Le cas le plus ordinaire, après celui où l'une au moins des équations 

 fondamentales a toutes ses racines inégales, sera celui où aucune des ra- 

 cines multiples n'annulera tous les mineurs du premier ordre. Notre système 

 fondamental se partage alors en groupes simples. En effet, chaque racine £ 

 de A ^ o est alors associée à une racine i' de A' =^ o, ayant même ordre de 

 multiplicité, et, si le cou])le (s, e') est multiple d'ordre p., à ce couple cor- 

 respond un groupe de p. éléments âi^, Si,, ..., Ajj.-,, de degrés o, i, 

 2, ■ .., p. — I, et de multiplicateurs £ et a', les coelticienls des plus hautes 

 puissances de u et de u' ne différant que par des facteurs constants. 



» Voici, pour une équation P = o du second ordre, le système fonda- 

 mental qui répond à tous les cas : 



sr„(x) et zô{x) étant doublement périodiques de seconde espèce. Les con- 



