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ANALYSE MATiiiÎMATlQUE. - Sur les multiplicateurs des équations différentielles 

 linéaires. Noie de M. Halp!iex('). 



« Dans ma dernière Communicatio», j'ai indiqué comment, par le moyen 

 des niulliplicateiirs homogènes, on peut intégrer une équation du troisième 

 ordre, connaissant, en fonction de la variable indépendante, l'expression d'un 

 poljnôme homoyène du troisième degré, composé avec les solutions inconnues. 

 Je vais donner les formules explicites qui résolvent ce problème el présenter 

 un exemple. 



» Soit p une fonction donnée comme l'expression du polynôme envisagé, 

 et soit 



Mf"+ 3 N7"+ 3P7'4- Qj = o 



l'équation proposée. Considérant la fonction adjointe 



F = (M2)'"- 3 (Nz)"+ 3(Pz)' - Qz, 



on détermine le multiplicateur du second degré, qui ap pour source. Ce 

 multiplicateur A est un polynôme homogène et du second degré par rap- 

 port à z, z', z"; ses coefficienls sont des fonctions de la variable indépen- 

 dante; le coefficient de z"- est 3M-/?, et les autres, comme je l'ai précé- 

 demment montré, s'en déduisent par la condition que AF soit la dérivée 

 d'un polynôme du troisième degré en z, z', z". 



n Le discriminant de A fournit la source d'un multiplicateur analogue. 

 Il est plus commode de féùre intervenir dans les formules une combinaison 

 linéaire quelconque des deux sources, comme il suit. 



» A la fonction p est conjuguée une autre fonction analogue p,, source 

 d'un second multiplicateur A,. 



» Soit p = e V ""; envisageons les deux formes quadratiques 



pk^lUij z"' Z^^\ pk,=lbij 2"' z '>) 



et leurs discriminants D, D, ; formons, en outre, avec les coefficients a, ^ 

 des formes adjointes, les combinaisons 



C = lbijC<,j, C, = ln,j[-i,j, = 2a„,Po. - «ooj'Sn ~ a.i^oo- 

 Ces diverses fonctions sont liées entre elles par les relations suivantes, 



(') Voir le précédent Volume, pages i4o8 et i54i. 



