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P„=Q„, P„-,= P„ + (/7-?)Q„... P„-= = P„-, + (-'3-r)-oQ„-. 



P„= i>,-uf-^_^V/]"-'Q„: 



en supposant 5 et ïj positifs e' y; ^ ç, on peut énoncei' les deux propositions 

 suivantes : 



» Le nombre des racines de l'équation F(,r) =: o, qui sont comprises 

 entre Ç et yj, est au plus égal au nombre des variations de la suite 



P P P P P 



et la valeur du polynôme Ff.r), quand x varie depuis B, jusqu'à ri, de- 

 meure constamment comprise entre la plus petite et la plus grande des 

 quantités P,. Soit, par exemple, 



F(.r) = x^ — 2x'' + x' — 3.r- -I- l\x — 2 ; 



si l'on pose S = 1 e; V; = 2, on aura le Tableau suivant : 



Coefficients de l'équation 1 — 2 H-i 3 -f-4 — - 



Valeurs des Q, i — 1 o — 3 -f- 1 — i 



Valeurs des P, . -y. — 1 4 — 6 — G o — 1 



d'oîi il résulte que l'équation Y {x) = o a une seule rncine comprise 

 entre i et 2 et que la valeur de ce polynôme, quanti x varie depuis i jus- 

 qu'à 2, demeure comprise entre les nombres — 14 et -l-a; la règle de 

 Cauchy donne les limites — l\o et -\-!\i. 



» En considérant encore le mètne polynôme, faisons ; = 2 et r, ^=r. 3, 

 nous aurons le Tableau suivant : 



I — 2 4- I — 3 -4-4 — ■?. 



I O -•- I I + ?. -4- T 



-fpi -t-io H- 10 +1 +4 -J-?. 



d'ot'i l'on voit que l'équation F(.r) = o n'a aucune racine comprise 

 entre 2 et 3, et que la valeur de ce polynôme, quand r varie depuis 2 jus- 

 qu'à 3, demeure toujours comprise entre -h r et +91, les deux valeurs 

 extrêmes étant d'ailleurs +2 et 4-91. 



» La règle de Cauchy donne dans ce cas les limites — i43 et +236. 



)) 3. Les résultats précédents subsistent encore, en en modifiant légère- 

 rement l'énoncé, dans le cas où F(a') est un polynôme de la forme 



rto + (7,.r*i 4- rtj a;"' -f- . . . + anX""", 



