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 On saura donc calculer, Je proche eu proche et p.ir voie récurrente, les 

 polynômes Q,,, dont la vileur est doiniée par la formule 



Q, = (X + (7„ — f/„_ , ), 



puis les dénominateurs et les numérateurs des réduites par les formules 



?«-! — Q» ?» + ?«-. = o- » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Abais^emenl des limites journies par la rkjle des 

 signes de Desi ailes. Note de M. IV AxonÉ, présentée par M. Hermite. 



« Étant donnée une équation algébrique quelconque f[x) = o, la règle 

 des signes de De>cartes fournit, comme on sait, deux limites supérieures, 

 l'une V, du tiondire des racines positives de cette équation, l'auire w, du 

 nombre des racines négatives. Ces deux limites peuvent se déterminer, 

 sans calcul, sur le polynôme f[3c). Elles sont d'ordinaire trop élevées, et 

 il y a intérêt à les abaisser, 



» Grâce à une étude approfondie d(^s variations qui se perdent dans la 

 multiplication lie f[x) par j: + a, je suis parvenu, poiu" cet abaissement, 

 à deux théorèmes, relatifs, l'un aux racines positives, l'autre aux racines 

 négatives de l'équation y(jr) = o; et ces théorèmes présentent ce double 

 avantage : d'abord, de donner tout l'abaissement que l'on peut tirer de la 

 considération fie ces variations perdues; ensuite, d'être applicables dès que 

 quelques coefficients dey(.r) satisfont à certaines inégalités, c'est-à-dire 

 dans des cas très généraux, (|ui se rencontrent à chaque instant. 



» Ce sont ces théorèmes que je vais exposer, en les faisant précéder de 

 quelques préliminaires indispensables. 



» Soit f{x) un polynôme entier quelconque, complet ou incomplet, 

 ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Considérons-y 

 trois termes consécutifs, c'est-à-dire trois termes où les exposants de x 

 soient trois nombres entiers consécutifs. Si, dans ce groupe de trois termes, 

 les coefficients extrêmes soîit de même signe, et que le carré an coefficient 

 moyen ne dépasse pas le produit des coefficients extrêmes, ce groupe con- 

 stitue un Itinànie abaisseur. Les trinômes abaisseurs sont de la première ou 

 de la seconde espèce, selon qu ils nous présentent deux variations ou deux 

 permanences. Si l'on désigne par L, M, N les valeurs absolues des trois 



