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 coefficients d'un trinôme abaissent-, soit de la premièi-e, soit de la seconde 

 espèce, le carré M" est toujours inférieur ou égal au produit LN; et l'on 

 dit que le nombre positif a est compris dans ce trinôme abaisseur, lorsque 

 ce nombre satisfait à cette double relation 



M, ^N 

 L - - M 



» D'ailleurs, deux trinômes abaisseurs sont distincts lorsqu'ils n'ont pas 

 plus d'un terme en commun; plusieurs trinômes abaisseurs sont distincts, 

 lorsque deux quelconques d'entre eux sont distincts; et des trinômes 

 abaisseurs, en nombre quelconque, sont compatibles lorsqu'il existe nu 

 nombre a, au moins, qui soit compris dans chacun d'eux. 



). Ces définitions posées, nous pouvons énoncer, sur la multiplication de 

 i[x) par ce -\- a, le théorème fondamental suivant : 



» TnÉORi'.ME FONDAMENTAL. — Lotsque l' On mullipHe J[x) par x -+- a, le 

 nombre a étant positif, il se perd juste autant de couples de variations qu'il y a, 

 dnns f{x), de trinômes abaisseurs de la première espèce, distincts les uns des 

 autres et comprenant a. 



» Ce théorème nous permet de résoudre, sur la n)ulliplication par jc- -+- a, 

 un certain nombre de problèmes intéressants. Il nous montre notamment 

 qtie le nombre maximum des variations qui se peuvent perdre, dans cette 

 nniltiplicalion, est juste égal au double du plus grand nombre de trinômes 

 abaisseius de la première espèce, distincts et compatibles, que présente le 

 polynôme /(.r). Et celte remarque nous conduit immédiatement aux deux 

 théorèmes que voici : 



» TnÉORTîME I. — Si l'on désigne par 6 le plus cjrand nombre de trinômes 

 abaisseurs de la première espèce, distincts et compatibles, que présente le poly- 

 nôme f{x), le nombre des racines positives de l'équation/{x) = o est au plus 

 ,}jjal à (' — iQ, et s' il est inférieur à celte limite, c est d'un nombre pair. 



» Théorème II. — Si l'on désigne par x le plus cjrand nombre de trinômes 

 abaisseurs de la seconde espèce, distincts et compatibles, que présente le polynôme 

 f{x), le nombre des racmes négatives de l' équation J\x) — o est au plus égal à 

 n' — 2T, et s' il est injérieur à cette limite, c'est d'un nombre pair. 



)) Tels sont les deux théorèmes que je voulais faire connaître. On peut 

 remarquer que les quatre nombres v, w, Ô et t qu'ils contiennent se dédui- 

 sent, sans calcul, de l'examen du polynôme/(a). Pour en donner une ap- 

 plication, je considérerai l'équation 



a-* — x'^ -f- y.x" -+- x^ ■+- 'ix- — a.r -j- 5 = o, 



