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où m, n, p sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls; la fonc- 

 tion Z(x, y + ,',, z) a de même pour pôles de résidu + i tous les points 

 ayant pour coordonnées 



x = /«, y ■= n -h r,, z^= p. 



» Le potentiel cherché est alors, à un facteur constant prés, égal à la 

 fonction 



V(x, 7, z) -= y + ^ r + Z(jr, j, z) - Z(.r, j + i, z), 



où X est une constante numérique connue (' ). 



M Cette fonction V(j:,/,z) admet, par rapport à chacune des variables jr, 

 j', z, la période i et elle véritie l'équation 



^{^> j + v> '■) + "^('^r r> z) = o; 



de plus, elle est paire par rapport à chacune dos variables. 



» Une méthode semblable peut êlre appliquée à la recherche de la dis- 

 tribution du potentiel dans des plaques polygonales; la formation des fonc- 

 tions analogues à celles que nous venons de désigner par Y[x^y^z) et 

 F, (a;, /,z) dépend alors du théorème de M. Weierstrass sur la décompo- 

 sition d'une fonction uniforme d'une variable imaginaire en fadeurs pri- 

 maires. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équalions aux dérivées pnttielles du second 

 ordre^ qui contiennent linéairement les dérivées les }>his élevées. Note de iVl.R. 



LiOUVILLE. 



« Soit, en adoptant les notations d'Ampère, 



(i) Rr-h 2Ks-h Lt -+-M= o 



une équation linéaire relativement aux dérivées du second ordre; les coef- 

 ficients H,K, L, M qui y figurent ne sont assujettis qu'à la seule condition 

 de ne pas renfermer la fonction inconnue. 



» 11 existe toujours une substitution par laquelle, prenant pour inconnue 

 nouvelle une certaine fonction des dérivées du premier ordre de l'inconnue 



(') Cette constante > est celle qui figure dans les relations exprimant les propriétés fon- 

 damentales de la fonction Z(.r, i, :) ; la constante p de ces mêmes relations est égale à -• 



