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 primitive et des variables indépendantes, on transforme réqiiation proposée 

 en une autre, également linéaire par rapport aux dérivées du second ordre. 

 La résolution de cette dernière entraîne celle de l'équation qu'on étudie, 

 et inversement; enfin cette nouvelle équation peut admettre des intégrales 

 intermédiaires, alors que la proposée n'en avait aucune. 



» Soit, eu effet, V une fonction des seules variables x, j, p, q, et sup- 

 posons qu'elle soit choisie de manière à satisfaire la première équation des 

 caractéristiques, c'est-à-dire la suivante : 



(2) -L^4-(R±v/G)^ = o. 



où G désigne le binôme R^ — HL. 



» Représentons par z, ce que devient la fonction V, lorsqu'on y substi- 

 tue k p et q leurs expressions, supposées connues, en fonction dex et dey, 

 et par/j,, </,, t\, s,, t, ses dérivées des deux premiers ordres. Il est facile 

 de voir qu'on a, en vertu de l'équation proposée (i), 



(3) H/., + (K±v/G)7.^Hg + (Kdzv/G)|-Mg, 

 et cette relation, jointe à celle qu'on a déjà, 



permet d'exprimer les fonctions p et q k l'aide de z,, p,, q, et de x et y. 

 Comme, d'ailleurs, on doit avoir 



âp dff 



ôr Oj: 



on en déduit une équation aux dérivées partielles du second ordre à la- 

 quelle satisfait la fonction z, ; c'est la transformée que nous nous proposions 

 d'obtenir, évidemment linéaire relativement kr^,s^,t^^ comme nous l'avons 

 dit. Si l'équation donnée (i) est linéaire à l'égard des dérivées du premier 

 ordre p el q, comme de celles du second ordre, la transformée est aussi 

 une équation purement linéaire. 



» 2. Comme première application de la transformation proposée, nous 

 étudions l'équation 



(4) {x-'~y'){r-t) + k^-ys = o, 



par laquelle on détermine toutes les représentations planes de la sphère, 



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