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» Mais on démontrera sans difficulté que v ne peut pas s'exprimer 

 comme somme de j)uissances de «, ni vice versa v comme somme de puis- 

 sances deii. 



» On n'a pas besoin de remarquer que la seule condition de l'existence 

 de racines latentes égales en u ou en v ne peut pas suffire en elle-même 

 pour assurer que uv = l'w, mais il faut réserver pour une autre occasion la 

 pleine discussion de la totalité des solutions de cette équation importante. 



» J'ajouterai seulement cette remarque, qui est essentielle. En supposant 

 l'existence des équations 



m'-n -+- m/un + nin- = o, 



71- m -+- ninn -+■ mn- = o, 

 {mny^ + Qm« — R = o, 

 {nmy-rQnm— R = o, 



qui ont lieu nécessairement quand le déterminant de x + j/?3 + zn devient 

 une fonction linéaire de cc^, j'\ r\ et en regardant nm comme fonction 

 de mn (en vertu de l'équation 772«.n/w = nm.mn), alors, en additionnant aux 

 deux valeurs de nm (exprimé comme fonction de mn) données ci-dessus, 

 qui correspondent aux deux valeurs de '(, c'est-à-dire y/4Q^+ 27 R-, on 

 a à considérer quatre autres valeurs, le nombre total en étant six. Car si l'on 

 suppose nm — A{mny -\-Bmn-hC et si ).,, ).o, ï^ sont les trois racines de 

 ■).' 4- Q>. — R = o, les valeurs de A, B, C sont déterminées en mettant 



AX'ïH-BX, + C = X,-, 



AX^ + 6X3 + = Xa, 



où /, j, k sont respectivement 



1 3 2 



■i 2 3 I 



12 OU OU bien 5 2 i 



3 I 2 



2 I 3 



» Les valeurs de A, B, G données ci-dessus correspondent au deuxième 

 de ces groupes de valeurs de i, j, k. 



» Si l'on écrit i = i, / = 2, A" = 3, on trouvera nm = mn. 



» Si l'on écrit i = i,y = 3, k = 2, en faisant X, = A, on trouvera 



3\lmnY— Qinn + 2AQ 



mn = — i ■ ^^ ^' 



3A^+Q 



