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» Cette (Iroîip perce |3 en tin point P. Or tout plan qni passe par P ren- 

 contre P13 en fies points BCD, qui peuvent être substitués à BjC^D^ pour 

 la recherche de A5 ('). 



» Or, si l'on choisit arl)itrairement rlenx points B, C sur R3, le troi- 

 sième point D se construira linéairement. 



» Si l'Académie vent bien nous le permettre, nous montrerons, dans 

 une procliaine Communication, comment cette méthode s'applique à la 

 construction des courbes du quatrième ordre. » 



ANALYSE MATHI^MATIQUE. — Sur les coitrbes définies par les équations 

 différentielles. Note de M. H. Poixcark, présentée par M. Hermite. 



« Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 

 i3 février 1882, j'ai étudié les points singuliers des courbes de l'espace 

 définies par les équations 



. fl.r dv dz 



où X, Y et Z sont des polynômes entiers en x, jet z. Mais l'étude de ces 

 courbes dans le voisinage d'un point singulier ne nous donnerait qu'une 

 idée imparfaite de leur forme générale. Il est nécessaire d'introduire ici un 

 genre nouveau de considérations. 



» Il faut d'abord chercher à reconnaître si, parmi les courbes qui satis- 

 font aux équations (i) et que j'appellerai, pour abréger, les courbes C, il 

 y a des courbes fermées; on y parviendra en appliquant des procédés ana- 

 logues à ceux que j'ai employés dans ma Note du 23 juillet i883. Suppo- 

 sons donc qu'on ait trouvé parmi les courbes C une courbe fermée C„, et 

 étudions la forme des courbes C dans le voisinage de Cq. 



» Prenons pour origine un point de C^; soit {jc,j) un point du plan des 

 xy très voisin de cette origine. Par ce point passera une courbe C qui 

 viendra couper de nouveau le plan des ay en uu point (a-,, j,). Eu général, 

 X, etj ,, qui s'annuleront en même temps que x et y, seront des fonctions 

 holomorphes de ces coordonnées initiales, de sorte qu'on aura 



L Xi — ax-h ^y -I-. ., 



^^^ [j.^-ix-r-^r-^-.... 



{') Nous avions déjà fait usage d'un artifice semblable dans le cas du troisième ordre. 

 Voir notre Mémoire Sur les surfaces du troisième ordre [Acta mat lu- ni a lieu, t. III, |). i84j 



