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» Premier cas. — Si ac? — py <! o, les C()Utl)es C qui passent dans le 

 voisinage île Co, après s'être aji|)rocliées d'aboiil de celte combe, finissent 

 par s'en éloigner. 



i> Dtuxièrnc cas. — Si i<cJ — py > o, a + c?^o, on peut constiuire une 

 surface qui enveloppe Cq et qui ne louche en aucun f)oint anciuie des 

 courbes C. C'est une surface sans t'o///rtt< qu'une courbe C ne peut traverser 

 qu'une fois. Un point qui décrira la courbe C se rapprochera indéfiniment 

 de la courbe C,,. 



» Troisième cas. — Supposons maintenant «c? — j3y ^ o, aH-cî=:o; si 

 une iiifinité d'autres conditions où entrent lescoefficienls des termes d'ordre 

 supérieur des développements (2) ne sont pas remplies à la fois, il y a 

 encore une surface sans contact, et l'on retombe sur le cas précédent. 



» Quatrième cas. — Supposons maintenant que toutes ces conditions, 

 dont je viens de parler, soient rem|jhesà la lois. Il pourra se faire alors qu'il 

 existe une surface S sur laquelle la courbe C reste constamment, et qu'elle 

 remplisse complètement [ïiberaUdiclu). 



» CiiKjuièine cas. — Mais il peut arriver aussi qu'il n'existe pas de pareille 

 surface, et que les coordonnées x,y, z d'un point de la courbe C puissent 

 croîlre sans limite. Dans ce cas, la courbe C remplit complètement [liber' 

 atldiclil) l'espace tout entier. 



» Sixième cas. — Enfin il peut se faire que la courbe C ne reste pas con- 

 stamment sur une surlace, mais qu'elle reste constamment à l'intérieur d'uin': 

 certauie surface, de sorte qu'elle remplisse complètement (((/*e/(///(//c///) non 

 l'espace tout entier, mais toute une région de l'espace. 



» Voyons maintenant comment ce qui précède peut se rattacher à la 

 question de la convergence des séries de M. Liudsledt. 



» Nous pourrons écrire les équations de la courbe C'„ sous la forme 



(3) x = y(0, / = y(0. -=-Hi), 



(p, ^}/ et 5 étant des séries ordonnées suivant les sinus et cosinua des nud- 

 liples de t. Posons ensuite, poiu" une courbe C voisine de C„, 



les équations (1) devieiuiront 



, , . U r}j; tiX ^ </X ., f/X -v I <•/* X ^ „ 



4) —- = — ÔX-+ -r- 0V + — OiH -^ OX- -+-... , 



\^' (U ilx (If - dz ■! il.i-^ 



I 1 I 1 . il <lr <l3z 



avec deux écpiatious analogues donnant les valeurs de —r- et -— -• 



