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 valeurs a et v; nous représenterons par 6 la même fonction correspondant 

 à U et V. 



» Étant donnée la substitution (i), on pourra trouver trois expressions 



M,jr-|-N, y + P,z, M, j; + N„7 + P.s, Mjar + Njj + PaZ 



t't un polynôme i|;(a;, /, z) homogène et du second degré en x, y et z, 

 tel que l'on ait 



j 0(„,w(M,x + ]N,j + P,-, 

 (2) ]VLa'-4-N2j + PoZ, 



( MaO; + N3J + V,z)é^^^-y-^ = C. e,„,p, (.r, J,z), 



les indices (a, p) étant convenablement choisis en fonction des indices (rt, h). 

 C est une constante dont, pour la suite de ces recherches, il était utile 

 d'avoir la valeur. Pour cette détermination, j'ai pu employer une méthode 

 analogue à celle qui a été suivie par M. Hermite dans la question de la 

 transformation du premier ordre des fonctions d'une seule variable 

 [Journal de Lioiiville, i858). Je multiplie par dx dy dz les deux membres 

 de l'identité (2), et je prends des deux côtés l'intégrale triple, les limites 

 étant zéro et l'unité pour les trois variables. On arrive, après diverses 

 transformations de calcul, au résultat suivant : 



C= ^ 



A3 M + B3C -4-C3 



£ désignant une racine douzième de l'unité; ce résultat rappelle celui qui 

 a été obtenu par M. Hermite {loc. cit.) dans la théorie des formes en 

 nombre infini des fonctions 6 d'une seule variable. 



» Les fonctions 0, pour les valeurs nulles des arguments x,j,z{en 

 laissant, bien entendu, de côté celles qui sont identiquement nulles ), 

 donnent des fonctions intéressantes de u et i>. Les relations telles que (2), 

 en y faisant x = j = z = o, permettent de trouver ce que deviennent ces 

 fonctions de i^ et i>, quand on effectue sur ces variables une substitution 

 du groupe G. Je développerai ces relations dans un travail plus étendu; 

 nous pourrons ainsi exprimer au moyen des fonctions Q les fonctions 

 hyperfuchsiennes relatives au groupe G, absolument comme on exprime 

 les fonctions modulaires au moyen des fonctions d d'une variable. » 



