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ANALYSE MATI1L.MAT1QUE. — Nombre exacl des variations gagnées dans la 

 multiplication par x ~ a. Note de M. 1>. Ax\dré, présentée par M. Her- 

 mite. 



« J'ai fait connaître, dans une Note récente ('), un théorème qui donne, 

 dans tous les cas et sans aucune exception, le nombre exact des varia- 

 tions perdues dans la multiplication du polynôme entier /(x) par le bi- 

 nôme X -^ a. 



» Je viens de trouver un théorème analogue, malheureusement un peu 

 moins simple, qui donne, dans tous les cas aussi et sans aucune exception, 

 le nombre cxiict des variations gagnées dans la multiplication du polynôme 

 entier y(j:') par le binôme x — a. 



» Ce nouveau théorème repose sur la considération des trinômes éléva- 

 teurs, que l'on peut définir de cette manière : un trinôme élévateur est le 

 groupe que forment les coefficients de trois termes consécutifs du poly- 

 nôme /(a), lorsque ces coefficients sont tous les trois de même signe et 

 que le carré du coefficient moyen est moindre que le produit des coeffi- 

 cients extrêmes. 



» Si l'on désigne par L, M, N les valeurs absolues des coefficients qui 

 constituent un trinôme élévateur, le carré M^ est toujours inférieur au 

 produit LN; et l'on dit que le nombre positif a est compris dans ce tri- 

 nôme lorsqu'il satisfait à cette double condition 



M , ^ N 

 L '^ ^ M 



» Ainsi définis, les trinômes élévateurs sont, en apparence, identiques 

 aux groupes que j'ai considérés, dans ma précédente Note, sous le nom de 

 trinômes abaisseurs de la seconde espèce. En réalité, ils diffèrent de ces der- 

 niers par deux particularités essentielles : d'abor,!, dans le trinôme éléva- 

 teur (L, M,N), le carré M" n'atteint jamais le produit LN; ensuite, lorsque 

 le nombre a est compris dans ce même trinôme élévateur, il n'atteint 



jamais non plus la fraction — • 



» Un trinôme élévateur comprenant « est un trinôme élévateur superflu, 

 lorsque ses deux premiers coefficients composent ou terminent une suite 

 de coefficients consécutifs, tous de même signe, formant une progression 



(') Séance du 28 janvier 1884. 



