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 géométrique de raison a, et précédés immédiatement soit d'nne lacune, 

 soit d'un coefficient de signe contraire, soit d'un coefficient de même 

 signe, trop petit en valeur absolue pour faire partie de la progression. Il 

 est évident que ces trinômes élévateurs superflus ne peuvent se rencontrer 

 que dans des cas très rares, tout à fait exceptionnels. 



» Quoi qu'il en soit, le théorème qui fait l'objet de la présente Note peut 

 s'énoncer ainsi : 



» Théorème. — Dans ta muUiplicalion du polynôme entier f[x) par le 

 binôme x — «, oii a esl posilif, il se gagne : autant de couples de variations 

 qu'il y a, dans J\ ce), de trinômes élévaleurSj comprenant a et non superflus; 

 pluSj autant de couples de variations quU y a, dansj{x), de lacunes présentant 

 une permanence ; plus enfin, une variation unique. 



)) Comme on le savait, le nombre total des variations gagnées est tou- 

 jours un nombre impair. On voit, sur cet énoncé, que ce nombre total se 

 compose de trois parties : la piemière toujours paire, susceptible de s'an- 

 nuler, et dépendant à la fois de la forme du polynôme /(a?) et de la valeur 

 numérique de a; la deuxième, toujours paire aussi, susceptible de s'an- 

 nuler, dépendant de la forme du polynôme/'(a:), mais non pas de la valeur 

 de «; la troisième enfin, constamment égale à l'unité, et ne dépendant ni 

 de la forme de/(x), ni de la valeur de x. 



» Le théorème qui précède nous donne le moyen de résoudre différents 

 problèmes intéressants; le moyen notamment de déterminer entre quelles 

 limites la valeur numérique de a doit être comprise pour que la multipli- 

 cation par r — a nous fasse gagner un nombre donné de variations, ou 

 même le plus grand nombre possible de variations." 



» Quant à la démonstration de ce théorème, c'est une démonstration 

 nu peu longue, mais très simple et absolument directe. Je la donnerai, 

 avec tout le détail nécessaire, dans un Mémoire qui paraîtra bientôt. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la composition de polynômes algébriques 

 qui n'admettent que des diviseurs premiers d'une forme déterminée. Mémoire 

 de M. Lefébdre, présenté par M. Hermite. (Extrait par l'auteur.) 



« 11 existe des expressions algébriques qui n'admettent que des diviseurs 

 premiers de la forme H/, -t-i, r, désignant un nombre premier quel- 

 conque ; il en est ainsi du polynôme A'"'^' + A'''~-B -f- . . . + AB'^i"- ■+• B''>*, 

 où A, B sont des nombres entiers quelconques premiers entre eux. Ledivi- 



