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 et spécialement à celles qui conseivent l'hypersphère 



(2) xjf,, -h 77o = I , 



et qui, par conséquent, peuvent engendrer ces groupes hyperfuchsiens 

 dont M. Picard a donné des exemples. Dans l'équation (2), comme dans 

 tout ce qui va suivre, j'ai représenté, à l'exemple de M. Hermite, par ?/„ la 

 quantité imaginaire conjuguée de u. Mettons la substitution (i) sous la 

 forme homogène 



(i bis) [oc, y, z; ax + bj -\- cz, a' x -f- b'j + c'z, a x 4- b"j H- c"z). 



» On peut, par un changement convenable de variables, amener cette 

 substitution à l'une des formes suivantes, que l'on peut appeler Jorines 

 canoniques : 



(A) {x,j,z;y.x,(if,yz), «^/3>7, 



(B) {x,f,z;o.x,^y+z,^z), a>p, 



(C) {x,jr,z;ccx,^y,^z), a>|3, 



(D) (x, j,i;; ax +;-, aj + i:, as), 



(E) (x, j, z ; cf.x, ay -+- z, as). 



» Ne nous occupons pour le moment que de la forme (A); car toutes les 

 autres, qui sont analogues aux substitutions paraboliques, n'en sont que 

 des cas particuliers. 



» Les quantités a, p, y sont appelées multiplicateurs. De plus, la substi- 

 tution (i) admet trois points doubles qu'elle laisse inaltérés. Quand on con- 

 naît les points doubles et les multiplicateurs d'une substitution, elle est 

 entièrement déterminée. Quand elle est ramenée à la façon canonique, ces 

 trois points doubles sont 



x=j = o, y z= z = o, x = z^^o; 



à la substitution (A) correspond la substitution conjuguée 



» On voit aisément que toute substitution de la forme (i bis) change 

 toute forme quadratique du faisceau 



( Axxo + Ba^To + B„ jx„ 4- Cjjo 

 I 4-D£Ci;„-f-Doza;„ + Ej0„ + E„s7n+ Fc3„ 



eu ime autre (orme du même faisceau. 



