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 » Pour que la substitution (A) reproduise, à un facteur constant près, 

 une des formes (3) dont le discriminant ne soit pas nul, i! faut que trois au 

 moins des quantités 



aa-o, a/3„, /Sx^, ,6/3„, Ky», 77.„, /S'/o, y/S^, 770 



soient égales entre elles. Or, si l'on suppose, comme nous l'avons fait, que 

 les trois multiplicateurs soient différents, cela ne peut arriver que des trois 

 manières suivantes : 



(4) aa„ = |3/3„ = 77o, 



(5) «='-„ = j37„ = 7^0, 



(6) a|3o=P7„ = 7a.o. 



» L'hypothèse (G) doit être rejetée, parce que la forme (3) qui serait 

 reproductible par la substitution (A) serait imaginaire. L'iiypothèse (4) 

 signifie que les trois multiplicateurs ont même module : nous dirons alors 



que la substitution est elliplique. L'hypothèse (5) signifie que la quantité ^ 



est réelle et égale au carré du module de -• Nous dirons alors que la substi- 

 tution est hyperbolique. 



V Cherchons maintenant quelles sont les substitutions elliptiques ou 

 hyperboliques (que je ne suppose plus réduites à la forme canonique) qui 

 reproduisent l'hypersphère (2), c'esl-k-dire la forme 



» Cherchons d'abord les substitutions elliptiques; soient 



les trois points doubles. Nous trouverons les six relations suivantes ; 



qui définissent les conditions auxquelles doivent satisfaire les points 



doubles. 



» Ces conditions peuvent être satisfaites d'une infinité de' manières; en 

 effet, le premier point double peut être choisi d'une façon arbitraire, le 

 second peut encore élre choisi d'une infinité de manières, car il n'est assu- 

 jetti qu'aux relations 



X,Xoo+ P-.;-'-2o— ^1 '''20 = >w>'10 + f^2P-10 — V.V,o= O. 



