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» Le li'oisiéme point double est alors eiitiéreineut déiermiiié. Il résiille 

 de là qu'il entre dans les substitutions liyperfuchsiennes elliptiques liuil 

 paramètres arbitraires. 



» Passons aux substitutions hyperboliques : nous trouvons les condi- 

 tions 



XoLu-f- [J-.lJ.no — VoVoo — '^■sho-'r- lJ-3P-3i> — V3V5u= O, 

 >•.'*-„ -I- !->-,y-jo — V| V20 -= >-2>-,o + ,'^^,"-10 — ■■'i'-',,, = O, 



de sorte que i'Iiyperspbère (2) est encore conservée par une infiidié de 

 substitutions hyperboliques dépendant de huit paramètres arbitraires. 



» Disons encore quelques mots de la substitution canonique (B), qui est 

 la plus générale après celles que nous venons d'étudier. Supposons |5 = i 

 pour simplifier. Pour que celte substitution reproduise la fnrme (3), il faut 

 d'abord que l'on ait 



C = B = Bo = o. 

 Il faut ensuite que l'on ait 



v.y.ff = r ou oc = c-o, 



ce qui montre que les substitutions (B) peuvent se ivj^artir en deux classes 

 qui peuvent être regardées comme des cas particuliers des substitutions 

 elliptiques et hyperboliques. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Généralisation du théorème de Jacobi sur 

 les éijuotions de Haniillon. Note de M. J. Faukas, présentée par 

 M. Hermite. 



« Soit 



( P +/(-^» x,,x.,, ..., JC„, p,, p., ..., pn) — o, 

 (•) { ôr dr Or dj 



une équation aux dérivées partielles de premier ordre. 

 » En désignant par 



(3) p,^p,{x,xixi,...,x:,p[,p:,...,p:) )^' ',2^ •••,«., 



où x". et/j" sont les valeurs initiales de a?, et p^ correspondant à la valeur 



