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et désignant par A' un nombre entier positif. Les polynômes A^ et Ba, quoique 

 différents de ceux qu'a étudiés M. Lefébure, jouissent de propriétés inté- 

 ressantes, dues en partie à Euler, Lagrange, Legendre, et qui conduisent à 

 démontrer l'existence de certains nombres premiers. 



» Si rt et è sont deux nombres entiers, A/, et B;; sont des nombres entiers 

 et ne pourront avoir pour diviseurs communs des nombres premiers im- 

 pairs qui ne soient pas diviseurs communs de a et h. Nous supposerons 

 toujours a (i\.b premiers entre eux. Pour deux valeurs m et m' de k^ dont 

 le plus grand commun diviseur soit p., tout diviseur impair commun àB,„ et 

 B,„' sera aussi un diviseur de B|j. ; m et ii étant deux nombres entiers posi- 

 tifs, on aura B„„, divisible parB,„, et le quotient Q ne pourra avoir avec B,„ 

 des diviseurs impairs communs qui ne soient pas diviseurs du nombre n. 



» Soit p un diviseur premier impair de ce quotient Q, tel que ni b ni Ji 

 ne soient divisibles par p : b sera un résidu ou un non-résidu quadratique 

 de p, et dans le premier cas B^ ,, dans lesecond B^^, seront divisibles par /;. 

 De là on conclut que, si n est un nombre premier, et m mie puissance 

 74'"' du même nombre, l'indice p =p i sera un multiple de mn — n', et l'on 

 aura p z^z 1 = /l'z, p ^^ n'z± i. Ainsi nous aurons trouvé des nombres 

 premiers de ces deux formes ii'zdz i, où 71 peut avoir la valeur 2, et /, :; 

 seront des nombres entiers positifs. 



» On peut discuter les cas particuliers de b = dz i , i = zt 2, avec a 

 multiple du nombre premiers. Il est facile d'en déduire que, pour b=^-hi 

 tout diviseur premier impair de Q sera de la forme n' z + i , m pouvant être 

 égal à 2 ; et que pour è = — i , si l'on prend a pair et n de la forme 4 /?• -1- 3, 

 Q aura quelque diviseur premier n'z— i de la même forme 4A' + 3. Pour 

 h :^ ± 2, on obtiendra encore des nombres premiers p = n' z — i diviseurs 

 de Q, qui soient de l'une des formes 8A±3si // est de la forme 8/t— i 

 ou bien qui soient de la forme Sk — 3 ou de la forme Sk — i si « est de 

 l'une des formes 8k — i, 8k ± 3. 



» En prenant a = 2, b = — i, on démontre qu'il existe des nombres 

 premiers de la forme -i'z — i qui sont diviseurs de la formule 



(,-^v/^)*-(2-v/— r 



ay/— I 



si l'on suppose que A; soit une puissance de 2. 



» Si n est un nombre premier impair quelconque et b l'un de ses non- 

 résidus quadratiques, on trouvera aussi des nombres premiers p — n'z—j, 



