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 qui, de plus, vériBent la condition d'avoir b pour non-résidu quadra- 

 tique. 



» Soit enfin m un nombre entier quelconque : on peut démontrer qu'il 

 existe des nombres premiers de la forme mz ■+- i et de la forme mz — i , et 

 qu'il en existe une infinité pour chacune de ces formes. Pour la forme 

 mz + I , on prend a multiple de tous les diviseurs premiers de m, et i = i ; 

 pour la forme mz — i, on a recours à l'équation binôme oc'" — i =o et à 

 l'équation X = o, ayant pour racines les racines [)rimitives de l'équation; 



on fait X = " "^ _ et l'on prend b — — Ir, avec a et h nombres entiers : 



a — v'^ 

 la valeur que prendra la fonction entière X aura des diviseurs premiers 

 mz — I de la forme 4^' + 3. 



» Quelques-uns de ces théorèmes fournissent une démonstration simple 

 du théorème de Fermât généralisé depuis immensément, par Legendre, 

 d'après lequel le double d'un nombre premier «delà forme 8X- — i est la 

 somme de trois carrés. En effet, on déduit de nos énoncés qu'il est possible 

 de déterminer trois nombres entiers r, s, t satisfaisant à l'équation em- 

 ployée par Dirichlet 



2nt- + /• — 2 «/.y = — 1 . 1) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la coinfjosilioit de ijol/tiùmes cjui nadmelteiit 

 que des diviseurs premiers d'une forme délerminée. Note de M. Lefébure, 

 présentée par M. Hermite. 



n—1 _, TJ«-) 



« Les polynômes de la forme A""' + A"-=B + . . . 4- AB''-^ + B 



ou 



« est un nombre premier, où A et B sont des nombres quelconques premiers 

 entre eux, B pouvant prendre le signe —, n'admettent que des diviseurs de 

 la forme Un 4- i; n est aussi diviseur si A — B est divisible par n. 



» Je vais établir que ces diviseurs, à l'exception de ri, sont nécessaire- 

 ment de la forme H'n- + i si A et B sont des puissances «"""=*. 



» Je rappelle d'abord l'énoncé d'un théorème que j'ai démontré dans 

 un Mémoire sur les résidus des puissances n'^™»* des nombres, sur lequel je 

 m'appuierai, et qui a aussi ses applications dans d'autres questions. 



» p désignant un nombre premier de la forme H/z + i, les résidus des 

 puissances «''"'»<'" des nombres obtenus par le diviseur p sont au nombre 

 de H. Si je considère la suite des (p — i) premiers nombres i , 2, 3, . . . , (p—i), 

 cette suite peut se partager en H séries de Ji nombres chacune, de telle sorte 

 que les nombres d'une même série élevés à la puissance «"""* conduisent à 



