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un même résidu et que leur somme soit un multiple de p. J'ai démonlré, 

 de plus, qu'il se présente toujours l'un des deux cas suivants : i" les nom- 

 bres sont tous résidus dans certaines séries, et dans les autres aucun d'eux 

 n'est résidu; 2*^ dans chaque série il y a un résidu, mais un seul. 



» Exemples. — Soient p = ig, H = 6, n — 3. Ces dix-huit premiers 

 nombres forment les six séries suivantes : 



Dans chaque série, les sommes sont des multiples de p. Les résidus com- 

 posent deux séries; dans les autres, il n'y a pas de résidus. 



» Soient p = 4i, H = 8, « = .5; on a les huit séries suivantes : 



Résidus 



3. . 



9-- 

 ,4.. 



Résidus. 



1+ 10+ 16+ i8 + 37 = 4',2 4o--- 40 + 3i +25 + 23 + 4 = 4' >3 



ii + i2 + 28 + .34 + 38 = 4i,3 38... 3o + 29+ i3+ 7 +3 = 41 ,2 



5+ 8+ 9 + 21+39 = 41,2 32... 36 + 33 + 32 + 20 + 2 = 41,3 



i5 + 22 + 24+27 + 35 = 4i ,3 27... 26+19+17 + 14 + 6 = 41,2 



Dans chacune de ces séries, un seul des termes est résidu. 



» Lorsque le premier cas a lieu, H est nécessairement divisible par n, 

 car le nombre des résidus est un multiple de n, et H représente ce nombre; 

 p est alors de la forme Wn- -+- i . 



» Cela posé, soit p un diviseur de A""' -1- A" "B + . . , + AB"'= + B"^', 

 diviseur de la forme H/i -t- i; soit A = C" et d'abord B = i , Je remplace 

 A et B par C" et i dans le polynôme précédent; il vient 



C«'«-" + C«t«--) -t- . . . -+- C" + I = (mod. p), 



et, si l'on multiplie par C"— i , on obtient 



(C")" — = (mod.^). 



Soit a le résidu de C" divisé par p, de sorte que 



C"^a (mod. ^), a" — 1^0 (mod./j). 



a ne peut éîre l'unité, car alors C"'"~"-f- C"*""-' -t- . . . -t- C"-|- ieeeo (mod. p) 

 deviendrait «seeo (mod. p) en vertu deC's^i (mod. p), ce qui est impos- 

 sible. 



» Soient r, s des nombres moindres que n, de sorte que r — s soit 

 moindre que fi et, par suite, premier avec « nombre premier; les résidus 



