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 obtenus par les divisions de a'^, «* par p sont différents. Eu effet, supposons 

 qu'ils puissent être égaux; on aura 



a''E^(/J {mod. p), c/' {a.''' — i) ^EEi o (inod. p), a''— t^^o (raod./j), 



en posant /• — .? = h. On a déjà x"— i ^o (mod./j). Soit ?i r= /ip -+- h'; il 

 vient, en remplaçant n par sa valeur dans a" — i^o (mod. p), 



[c/J'Y c/}' — \ ^^z o (mod./j), d'où a.'''— iheeo (mod. /î), 



en vertu de a^— ie=o (mod. /j). Comme 7i et h sont premiers entre eux, 

 on arrive, eu agissant sur h et /^' comme sur n et A, et ainsi de suite, à un 

 dernier reste égal à l'unité; par suite, on obtient a — i^o(mod./;), ce 

 qui n'est pas possible, puisqu'on a vu que « est différent de l'unité. Ainsi 

 (/!', /3% divisés par/?, donnent des résidus différents. De plus, si on les élève 

 à la puissance ii'""% ils conduisent à un même résidu, au résidu i. En 

 effet, on a 



a"— lEso (mod./?), d'où (x')"— ie^ o (mod. /?), (x*)" — ieeho (mod./?). 



On est donc dans le premier cas indiqué précédemment. Ainsi /j est de la 

 forme \\'n'^-{- i, ce qu'il fallait établir. 



» Nous avons supposé B = r; soit, plus généralement, B = D"; alors 

 A"-' 4- A"--B + . . . 4- B"-' conduit à 



C"("-') + C"f"-=)D"+ . . . 4- C"D""'-*' -+■ D"f"-" = G (mod. /)), 

 (C)"— (D")" = o (mod./j). 



Posons D"hsC"R" (mod./j), ce qui est toujours possible d'après les pro- 

 priétés des résidus; il vient, en remplaçant D" par sa valeur et en suppri- 

 mant les facteurs C"'"""", (C")", qui n'admettent pas le facteur p, 



, _l_R«4-...-l-R"(«-2) 4-R"("-))==o (mod.p), (R")"-i = o (mod./;). 



On est donc ramené au cas précédent; p est donc encore de la forme 



H'Ai»+I. 



» Applications. — Soient « = 3, A = 4S B = i; on a 



4» + 4^' + i = 3.19.73, 19 = 2.3--+-!, 73 = 8.3=4-1. 



» Soient « = 5, A = 2% B = i; on a 



22»— 2"4- 2'»— 2=4-1 = 1016801, 

 nombre de la forme H'fr 4- i . 



