( 4i7 ) 

 ce qui peut s'écrire, en désignant par k le dénominateur, 



m.x -I- (p, - k)j -H R, = o, 



Mja; 4- P37 + R3 — A-= o; 



d'où une éi| nation du troisième degré en k. Or, en tenant compte des rela- 

 tions (2), celte équation peut s'écrire 



(a) k'-^Bk-—B,k-i=o, 



où l'on pose B = — (M, +Po 4- R3), et Bo étant la conjuguée de B. 



» Bornons-nous au cas génrrai où l'équation (a) aura ses racines dis- 

 tinctes. Deux circonstances peuvent seulement se présenter : 



» 1° Les trois racines de l'équation (a) ont un module égal à l'unité : 

 c'est le cas de la substitution elliptique. Une discussion bien simple montre 

 que, parmi les trois poinis doubles, il y en a un seulement à l'intérieur de 

 l'hypersphère, les deux autres étant à l'extérieur. 



» 2" Les trois racines de l'équation («) ont la forme 



le module réiant différent de l'unité; c'est le cas de la substitution lijpei- 

 Loliqne. Aux racines A', et A., correspondent des points doubles situés sur 

 l'hypersphère : c'est ce que l'on voit, en remarquant que l'on a 



XXo+YYo-i= „^^.„^^,,^^:^p^^^^^) (.rXo + ;7o-0- 



Puisque X = a: et Y = j, on en conclut xx^ -+- 7/0 — 1 = 0; car 



norme(M3a; + P37 + R3), 



qui est égal à AA,,, est différent de l'unité. 



» Quant au troisième point double, correspondant à la racine A,, il est 

 situé en dehors de l'hypersphère. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation du degré m qui n a jamais plus 

 de deux racines réelles. Note de M. D. André, présentée par M. Hermite. 



« L'équation que je considère est l'équation algébrique 



i/ox"' — II, x""^' + u,.x"'~- — u,x"'-' + . . . — o, 

 dont le premier membre est un polynôme entier en x, du degré m, com- 



C. R., iS84, 1" Semestre. ( T. XCVIII, N» 7.) ^4 



