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pose de m + i termes, ne présentant que des variutions, et dans lequel 

 les valeurs absolues ;/„, m,, lu, u^, . . . des coeffici 'nls sont les termes d'une 

 série récurrente proprement dite, définie par l'égalité 



» Tous les coelficients de cette équation sont évidemment déterminés 

 dés que l'on donne les valeurs absolues m,,, h, des deux premiers, ainsi 

 que les valeurs des paramètres constants a et /3. Dans toute cette Note, u^ 

 et u, seront des nombres positifs quelconques, et il en sera de même de 

 a et de |3. 



» L'équation considérée n'a évidemment aucune racine négative. Pour 

 trouver une limite supérieure du nombre de ses racines positives, il suffit 

 de lui appliqiier l'un des théorèmes que j'ai fait récemment (' ) connaître. 



» D'après ce théorème, si l'on appelle v le nombre des variations du 

 premier membre de l'équation et 6 le plus grand nombre de trinômes 

 abaisseurs de la première espèce, distincts et compatibles, que présente 

 ce premier membre, le nombre des racines positives est au plus égal à 

 i> — 29, e!, s'il est inférieur à cette différence, c'est d'un nombre pair. 



» On connaît déjà v, qui est toujours égal à m, puisque le premier 

 membre de l'équation considérée se compose de m -+- i termes et ne pré- 

 sente que des vari.itions. Il reste à calculer 0. 



» Or, le premier membre en question nous offre une suite ininterrompue 

 de trinômes abaisseurs de la première espèce, car, les termes de la série 

 11^, u,, u.,, W;,, . . . satisfaisant, comme il est facile de l'établir, à l'égalité 



K — ««-1 "«+1 =— fii'C , — "u 2 "«)» 



K'S valeurs successives du carré u^ sont allernativemeul supérieiu'es et 

 inférieures à celles du produit ii„_,M„+,. Ces trinômes abaisseurs sont 

 d'ailleurs tous distincts. Ils sont aussi tous compatibles : en effet, on peut 



voir aisément que les valeurs successives de la fraction -^^ ne sont antre 

 chose que des valeurs approchées, et de plus en plus ajiproché's, alterna- 

 tivement par excès et par défaut, de l'expression ^ (a + V'^' -f-4iS), qui 

 en est la limite; d'où il suit que cette expression est comprise, à la fois, 

 dans tous ces trinômes abaisseurs. 



» Cela étant, supposons, en premier lieu, que le degré m de notre 



Dans la séance du 28 janvier 1884. 



