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 équation soit pair et égal à 2k. Si la suite des trinômes abaisseurs com- 

 mence avec le premier terme de l'équation, Q est égal à k; la limite supé- 

 rieure V — 2 est égale à zéro, et l'équation n'a aucune racine positive. Si 

 la suite des trinômes abaisseurs commence seulement avec le second terme 

 de l'équation, d est égal à jt — 1; la limite supérieure t^ — 20 est égale à 2, 

 et l'équaliun ou bien a deux racines positives, ou bien n'en a aucune. 



» Supposons maintenant m impair et égal à 2/c + i. Que la suite des 

 trinômes abaisseurs couunence alors avec le premier ou avec le seci nd 

 terme de l'équation; cette suite contient toujours A' trinômes; la limite 

 ç — 2Q est toujours égale à l'unité : l'équation a une racine positive, ni pins 

 t)i moins. 



» Couuiie application de ce qui précède, on peut citer l'équation mi- 

 métique 



X" 



3a;'«-3-H 3x"'-' 



où la valeur absolue de chaque coefficient est la somme des valeurs ab- 

 solues des dtux coefficients qui le précèdent, c'est-à-dire où les valeurs 

 absolues des coefficients forment la série récurrente i, i, 2, 3, 5, 8, . . . , 

 qui a été imaginée par Cassini, et que l'on désigne d'ordinaire sous le nom 

 de séiie de Lamé. 



» Cette équation numérique correspond au cas particulier le plus 

 simple, celui où les nombres u„, u,, a et p sont tons égaux à l'unité. Si 

 m est impair, elle n'a qu'une racine réelle, qui est positive; si m est pair, 

 elle n'a que des racines imaginaires. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation dijjérendelle du troisième ordre. 

 Note de M. E. Gours.vt, présentée par M. Hermite. 



i< Le problème de la transformation des séries hypergéométriques, tel 

 qu'il a été posé par M. Kummer {Journal de Crelle, t. 15), conduit à la 

 lecherche des intégrales de l'équation différentielle du troisième ordre 



/ -J" _l(^ 



[ - ■y'-]z''-h (),^ + ■/-— p^'— iiz + (i — X-) _^,, 



2Z^ Z 



(') J (i-./^)r^+ (V^ + -/-^ -t.'^-i]t+[i-V^) 



o,r-{( — 



qui sont des fonctions algébriques de t. Un calcul facile montre que l'équa- 

 tion (i) est vérifiée par toute intégrale commune aux équations du premier 



