X==(/-i)=-/iC, 'u.= =r(m -i)='-4(A +B + C), v==:.(Z + m - i)= = 4A, 

 X'2 = (Z'-i)=-4C', ii.'- = [iu'- ,)^-4(A'+B'+C'). V' = [l' + m'- if^l^k'. 



3'ai déterminé, dans ma Thèse, tous les cas ou les équations (2) et (3) 

 admettent une intégrale commune, et calculé ces intégrales. Ou n'obtient 

 pas ainsi toutes les intégrales algébriques de l'équation (1), mais la métho le 

 que j'avais suivie est susceptible d'être généralisée et appliquée à l'étiule 

 des solutions rationnelles de l'équation de Kummer. J'ai l'honneur de pré- 

 senter à l'Acadéfiiie les résultats que j'ai obtenus. 



» Si un des éléments X, p., v doit rester arbitraire, il n'existe pas 

 d'autre intégrale rationnelle que les intégrales déjà connues, qnirésnltent 

 des équations (2) et (3). Pour qu'd en existe d'autres, il faudra que >,, u., 



V soient les inverses de nombres entiers supérieurs à i : X= — > a = -> 



V = -• Cette condition étant remplie, la question se ramène à un [iroblème 



d'Algèbre, qui consiste à former une fonction ratioiuielle ^{t) jouissant des 

 propriétés suivantes : 



M 1° Pour toute valeur de a, différente de o, i , co , l'équation 



(p[t) = a 

 n'a que des racines simples; 



» 2° Les racines des trois équations 



( 9(0 = 0, 

 (4) 9(0 = ', 



( 9(0 = ^. 



qui ne sont ni o, ni i, ni co , sont racines multiples, d'ordre m pour la pre- 

 mière, d'ordre ?i |)Our la deuxième, d'ordie p pour la troisième. Inverse- 

 ment, toute fonction rationnelle Jouissant de ces pi'Oj)riétés sera une inté- 

 grale de l'équation (i) pour des valeurs convenables de X', ^i , v', qui seront 

 réelles et comnifiisurablos. Il est visible qu'à chaque fonction (p{t) corres- 



