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( 42. ) 

 pond une identité d'une forme simple, telle que 



l f{t -iyP'«+Q"4-R''=o, 

 I rP'"+(/ - i)^Q"+ 11''= o, 



P, Q, R étant des polynômes en ^ ; et à chaque identité de cette forme cor- 

 respond aussi une intégrale, sous certaines restrictions relatives au degré 

 des polynômes qui y figurent. Il est aisé d'obtenir un grand nombre de 

 pareilles identités, soit en partant des transformations déjà connues, soit 

 par la méthode des coefficients indéterminés. Voici comment on pourra les 

 grouper. Soit p le plus petit des degrés des polynômes P, Q, R; il est com- 

 mode, pour le calcul, de ranger dans une même catégorie toutes les iden- 

 tités pour lesquelles p a la même valeur. Les intégrales d'une même caté- 

 gorie peuvent être regardées comme les intégrales communes à deux 

 équations différentielles du premier ordre, analogues aux équations (2) et 

 (3). Ces équations sont très utiles pour donner une limite supérieure des 

 nombres r et 5 et des degrés des polynômes P, Q, R. 



)/ J'ai calculé toutes les identités pour lesquelles le nombre p est égal à 

 l'iuiité; ces identités sont très nombreuses. La plupart se rapportent aux 

 cas d'intégration algébrique de l'équation hy[)ergéométrique. D'autres 

 correspondent aux cas étudiés par M. Halphen (Coi»/j<es /oit/ws, 4 avril i88r), 

 où la variable est une fonction uniforme du rapport des intégrales, et par 

 là se rattachent à la théorie des fonctions fuchsiennes; je citerai les sui- 

 vantes, qui sont précisément dans ce cas : 



(6) (5«' + i5«- + io« 4- 2)- — 4(2;^ + i)* = n*(25H'" + 22« + 5), 



ou 



(7) 



ou 



4 J— I , I I + 9. J— I 



"25 25 



i6(3ii' + iou--\-%u-^ hf — (63«''+ \[\ou'^ + i68i^=-t- 96M -f- 32)^ 

 = 9m'(48h- -h 39M + 24), 



7 \/7 V^- ' , i3-f-7 s/vy/^ . 



" - KJ ^ 3^ ' 



(8) l - ^'i2t[i - tf {i + tf 



( = (r' — 60^'+ i34i-— 60/î 4- i)\ 



» On a resprclivement pour valeurs de X, p., v, X', p.', v' dans ces trois 



