( klk ) 



éijal à 2, comme l'a trouvé M. Maurice Lévy. Le périmètre S est donné 



ainsi : 



A 



(4) 





-4^,o,-")-T#7(p-'")-T¥^.a.-''')--} 



)i De là se déduit aisément un minimum pour AS'. Soit -r = r, 



on a 



Ai >"' 



^"•(^-O- 



» Or, le second membre décroît constamment pourra' croissant à partir 

 de l'unité. Comme ?i' est compris entre i et n, la |)lus petite valeur qu'on 

 puisse supposer au second membre correspond à l'hypothèse n' = n. Donc 



» T.a supposition n^= i donne le nombre 3 pour le minimum absolu. 

 D'après l'expression de A, donnée plus haut, si l'on fait S = 27tR, on a 



El ^^- 



)) Donc toide déformation est impossible si l'on a pris ~- <; 3. C'est le ré- 

 sultat que M. Maurice Lévy a annoncé comme probable. 



» La limite (n- — i) ne peut être atteinte que si ç est nul : les fonctions 

 elliptiques disparaissent et la déformation est nidle. C'est ce qui se vérifie 

 dans les formules ci-après, où l'on trouvera, sous forme explicitement 



réelle, les éléments de la courbe. La variable u a été remplacée par — > 



et X est compris entre zéro et n. La courbe a pour axes de symétrie les 

 rayons aboutissant aux sommets d'un polygone régulier de 2« côtés; les 

 formules donnent la portion de courbe répondant aux angles polaires de 



zéro à -, ce qui suffit à cause de la symétrie. 

 (5) s = ^jc. 



X ^ f\ — Jh <l , ■>■'. 



--H X — arc tane '^^^tans- )— arc tai 



\n "V 1-4- Jlr'n ^ 2 



(6) 6 = { ,„=« 7«=« 



V' I— (/iV/)"' lq\"'. Y'(--'l"'+' I — (/w)'" lq\'" . 



