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 où U est une matrice du quatrième ordre telle que U^ 4-1 = 0; a^b, k 

 sont des scalars arbitraires et / est une ra(rine primitive biquadratique de 

 l'unité; quand, pour la seconde forme k = \ , on trouvera qu'il y aura 

 une dérogation double de l'ordre de l'équation satisfaite par x, l'équation 

 identique pour x ne sera que du deuxième degré. 



» En réservant les détails du crdcul, voici le résultat général que j'ai 

 démontré rigoureusement (en m'aidant de la notation des nouions) pour 

 les matrices du troisième degré qui satisfont à l'équation xy =yx. 



» A moins que x ne soit une matrice privilégiée ou dérogatoire, y sera 

 toujours une fonction rationnelle et entière quadratique de .r, et de même, 

 à moins que y ne soit privilégiée, x sera une fonction pireille île j". 



» Il est bien entendu que le caractère dérogatoire d'une seule des deux 

 matrices n'empêche pas qu'elle ne soit une fonction entière et rationnelle 

 quadratique de l'autre. Dans le cas où x et j" sont tous les deux déroga- 

 toires, ni l'un ni l'autre ne peut être exprimé comme fonction explicite l'un 

 de l'autre, mais ils seront liés ensemble par une équation liuéo-linéaire. 



)) Il paraît peu douteux qu'une règle semblable doive être applicable à 

 l'équation xy =yx, quel que soit l'ordre des matrices x et y, sauf quand 

 l'équation qui lie ensemble x et y pourra être d'un degré moindre que 

 l'ordre de cbacuue d'elles. 



» Il est bon de remarquer que nulle matrice ne peut être dérogatoire, 

 sauf pour le cas où il existe des égalités entre ses racines latentes; mais ces 

 égalités peuvent parfaitement subsister sans que la matrice à laquelle elles 

 appartiennent soit dérogatoire. En général, s\ x = a -{- by -h cy-, on peut, 

 par une formule générale que j'ai déjà donnée, exprimer y sous la forme 



a. -h ^x -+- yx'; 



avec l'aide des racines latentes de x, cette formule ne cesse pas en général 

 d'être valable, même pour le cas où x contient des racines égales, en regar- 

 dant leur différence comme une quantité infinitésimale; seulement le 

 nombre des racines finies subira dans ce cas une diminution; mais, dans 

 le cas où l'équation xy =^yx [x étant dérogatoire) mènerait à l'équation 



X = a -\- by + cj-, 



on trouverait que nulle fonction explicite de x avec des coefficients finis 

 ne peut exprimer le y cherché. 



<) Il est à peine nécessaire d'ajouter que rien n'empêche, dans le cas où 

 l'un ou l'autre de x et j ou tous les deux sont dérogatoires, qu'on puisse 



