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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Suj tes groupes hyper/'itclisiens. 

 Note de M. H. Poixcaré, présentée par M. Hermite. 



« Les substitutions hyperfuchsiennes se subdivisent en substitutions 

 elliptiques et hyperboliques, si on laisse de côté certains cas particuliers. 

 Appelons /Jo/flîVe du point (a, /3) la droite 



» Dans les substitutions elliptiques, la polaire de chacun des trois points 

 doubles passe par les deux autres. Dans les substitutions hyperl)oliques, 

 deux des points doubles sont sur l'hypersphère 



(r) .TX„^jj,= J, 



et le troisième est le pôle de la droite qui joint les deux autres. Soient 

 (a, jS) et (7, 0) les deux premiers points doubles situés sur l'hypersphère. 

 » Considérons l'hypersphère 



(2) (^ - ^-) (-^0 - ^.0) + (7 - CO ( jo - po) = s^ 



où je supposerai que sest très petit. On peut toujours supposer que le multi- 

 plicateur de la substitution hyperbolique est assez grand pour que les trans- 

 formés de tous les points de l'hypersphère (2) qui sont intérieurs à l'hyper- 

 sphère (i) soient aussi près que l'on veut du point (7, §). Cela ne serait plus 

 vrai des points extérieurs à (i). 



» Cela posé, imaginons n substitutions hyperboliques S,, Sj, ..., S„. 

 Soient (a,, |3,) et (7,, 5,) les points doubles de S,. Soient I, une hypersphère 



{x - «,■) {x, - a,„) + ( J - /3,) ( Jo - i3,-o) = £■ 



et 2', la transformée de celte sphère par S,. On peut toujours supposer 

 les s assez petits et les multiplicateurs des substitutions assez grands pour 

 que les 2, et les 2'. n'aient aucun point commun à rintérietir de l'hyper- 

 sphère (1). 



» Envisageons un domaine D limité par l'hypersphère (i) et par les sur- 

 faces 2, et 1]. D pourra être regardé comme le domaine générateur du 

 groupe des substitutions S. La con^iiléralion de ce domaine montre que ce 

 groupe est discontinu à l'intérieur de l'hypersphère (i). La discontinuité 

 peut même s'étendre à un domaine plus vaste, mais non pas à toutes les 

 valeurs des variables. 



