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 par voie d'induction, savoir 



où l'on désigne par F(«) le nombre des solutions de l'équation 



H = x= + y- + z- + t^+ u^ 



et par p un nombre premier impair. 



M Or j'ai trouvé que l'on peut énoncer ce théorème plus général : 



» Le nombre des décomposUious du carré d'un entier quelconque m en cinq 



carrés s'exprime par 



,3X4-3 _, „3aH-3_ „3a+l^_ „_ , o3?-l-3 _ «SP + l _,_ „ _ , 



F(m- ) = 1 o — 5 — • -i — ; • • • ; 



on su})pose 



y-q^..., 



m = 2.'^ ifri'i' . 



2, p, q, . . . étant des nombres premiers différents. 



» Pour le démontrer, posons m = s'' « et représentons, comme le fait 

 M. Stieltjes, par(p(«)la somme des diviseurs impairs du nombre entier rt. 



» On aura, d'après les formules de M. Stielljes, 



F(m^) = lo ï^^ [?(«') + n(«'- 2'0 + 2'p(«^- 4=) + . . .] 



la somme portant sur tous les nombres /«', vi", positifs et impairs, satisfai- 

 sant à la condition 



m' -\- /«"— 211. 



» Or on vérifie sans difficulté la relation suivante : 



j t(«.',".-) = ï('«')?K) -^T?(7)?(7) +S''*'fe')^^) 



vi' et ni" étant deux entiers quelconques, y, S, s, . . . étant les nombres pre- 

 miers impairs qui divisent à la fois m' et m". Les sommes portent respecti- 



