( 5o(i ) 



vemeiit sur tous les nombres y, d*, :, . . ., sur toutes les combinaisons de ces 

 nombres pris trois à trois, et ainsi de suite. 

 )i En s'aidant de cette relation, on trouve 



(3) 



^ f {m', m" ) = ^ 9 ( w; ) 9 ( ,n\ ) _ ^ ^ ^ © ( m'^ ) f ( m], ) 



Il ;. ;. 



m , m 



ri ri 



le signe \ portant sur tous les nombres jn^, m] positifs et impairs qiu" 



i S 



satisfont à la relation 



m's-hm".,^ iy 



» Maintenant faisons usage de la formule connue 



9(l)ç(2«— l) + (p(3)ç(2«— 3) 



+ ?(5)y(2«-5)+...-h03(272-l)9(l) = Ç,(«), 



OÙ !^3{n) représente la somme des cubes des diviseurs du nombre impair n. 

 A l'aide de cette formule, l'équation (3) se transforme en celle-ci 



= [Upn-p^s{p''-l][U<l^) - qUl^-%.. 



^:!.+3 _^3a+l _|- ^ _ , ySii+3 _ ^3.8+1 + y _ , 

 ___ • • • • 



/r — I q^ — I 



» En substituant cette valeur de l(a[m',m") dans l'équation (i), on ob- 

 tient l'expression de ¥[in}) qu'il s'agissait de démontrer. 



>) Remarquons que l'on peut évaluer directement les sommes 



A= 9('«") + 20 (/n- — 4) -h 2(p(w^— iG) -H..., 

 E = ©(w^ ~ () -t- (p{m^ ~ 9) + (p{m- — 25) +..., 



dont se compose Y{m^) = i6(A-t-2B) +8(-i)'"(A- 2B), à l'aide de 

 la relation (2) et des formules générales de M. Liouville ('). C'est ainsi 

 que l'on trouve vérifiées les formules de M. Stielfjes dans le cas spécial 

 d'un nombre carré. Enfin, j'observe que ces formules mêmes se tirent en 



' ) Journal de Malliriiintique.'; pures et appliquées, •>." série, t. III-X. 



