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2° Le « Traité clinique et pratique des maladies des enfants, par Rilliet 

 et Bailliez », 3^ édition, publiée par MM. Bnrlhez et Sanné. (Présenté par 

 M. Charcot.) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE, •— Tliéoièiiie permettmil de constater (jue ceiiahies 

 équations algébriques n'ont aucune racine positive. Note de M. Désiré 

 André, présentée par M. Hermite. 



« Les lliéorèmes généraux que j'ai donnés, il y a quelque temps, tou- 

 cliant l'abaissement des limites fournies par la règle des signes de Des- 

 cartes, reposent sur la considération des trinômes abaisseurs, et supposent 

 essentiellement que ces trinômes soient à la fois distincts et compatibles. Le 

 théorème particulier qui suit repose encore sur le même fondement ; mais 

 les trinômes abaisseurs qui y figurent sont toujours forcément distincts et 

 n'ont nul besoin d être compatibles. 



» Théorème. — Si, dans le premier membre de l'équation f{jc) = o, tous les 

 termes d'un certain signe sont, chacun, le terme moyen d'un trinôme abaisseur 

 de la piemiète espèce, cette é(pmtion n'a aucune racine positive. 



» Supposons, pour fixer les idées, que les termes satisfaisant à la con- 

 dition énoncée soient les termes négatifs du polynôme /(x). Ciiacun d'eux 

 est alors le terme moyen d'un trinôme abaisseur de la première espèce, 

 c'est-à-dire d'un trinôme tel que 



Lx/'+' — Mx/'+No:''-', 



où le carré M'' ne dépasse pas le produit LN. 



» Cela étant, si l'on a soin, dansy(x), de dédoubler tout terme positif 

 compris entre deux termes négatifs, on peut, sans changer l'ordre des 

 termes, mettre ce polynôme tout entier sous la forme d'une sonune de 

 groupes, qui sont de deux sortes : les uns étant formés de termes, tous 

 positifs, en nombre quelconque ; les autres se composant chacun de trois 

 termes, un négatif entre deux positifs, et correspondaiit aux trinômes 

 abaisseurs dont on vient de parler. 



» Les gioupes de la première sorte, formés de termes tous positifs, sont 

 évidemment chacun supérieurs à zéro, pour toutes les valeurs supérieures 

 à zéro que l'on peut donner à x. 



C. K., 18S4, 1" Semestre. (T. XCVUl, N« 9.) 7^ 



