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 » Les groupes de la seconde sorte nous présentent les quatre types que 



VOICI : 



(0 -xP^' — MccP+-xP-\ 



a 2 



(2) - xP^' — MxP + Nx/"-' , 



2 



(3) hxP^'-MxP-h^xP-', 



(4) hxP^' -MxP-hUixP-'. 



i> Abstraction faite de ses p — i racines nulles, tout groupe du type (i) 

 a ses racines imaginaires ou égales, car la relation 



M-- LN5o, 



qui est satisfaite par hypothèse, peut s'écrire 



M2-4--<o. 

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» Il s'ensuit que ce groupe est positif ou nul pour toutes les valeurs 

 de X supérieures à zéro ; et, de plus, que, jjour ces mêmes valeurs de x, les 

 groupes des types (2), (3) et (4) sont positifs et non nuls. 



» Or, clans le polynôme y (a:), mis sous la forme d'une somme de 

 groupes, il existe forcément un groupe, au moins, appartenant à l'un de 

 ces trois derniers types. Doncy(x) est supérieur à zéro pour toutes les 

 valeurs de x supérieures à zéro. Donc, comme il s'agissait de l'établir, 

 réquationy'(,r) — o n'a aucune racine positive. 



» La présente démonstration est, on le voit, tout élémentaire; elle 

 s'appuie sur un genre de considérations très simple, très usité, mais diffé- 

 rant absolument de celui qui m'a conduit aux théorèmes généraux. 



» Quant au théorème particulier qui fait l'objet de celte Noie, et qui me 

 paraît tout nouveau, il possède cet avantage, remarquable et rare, qu'on 

 n'a point à s'y préoccuper de savoir si les trinômes abaisseurs qu'on y 

 considère sont distincts ou compatibles ; mais il présente un inconvénient 

 grave, qui en diminue beaucoup l'étendue et par conséquent l'utilité : c'est 

 de supposer que le polynôme/(a) soit d'une l'orme spéciale, et que les 

 coefficients du signe considéré y satisfassent tous, sans exception, à la con- 

 dition énoncée. » 



