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ANALYSE MATHÉMATIQUE. —- Sur les Jonctions hyper/iichsiennes. 

 Note de M. E. Picard, présentée par M. Herniite. 



« Parmi tant de beaux résultats obtenus par M. Poincaré dans sa théorie 

 des fonctions (uchsiennes, l'un des plus importants pour les applications 

 est la i'orniation d'une l'onction fuchsienne, définie seulement à l'intérieur 

 du cercle fondamental, qui ne peut pas prendre m valeurs données arbi- 

 trairement. Dans la théorie des fonctions de deux variables indépendantes 

 que j'ai appelées hyperfuchsiennes, il se présente une question qui offre 

 quelque analogie avec le problème précédent et dont je voudrais dire 

 quelques mots dans cette Note. 



» Admettons que le polyèdre fondamental du groupe liyperfuchsien 

 considéré ait un certain nombre de sommets sur l'hypersphère de rayon un : 

 chacun de ceux-ci est le sommet d'un angle polyèdre à ■àiiL faces, conju- 

 guées deux à deux, de telle manière qu'à chaque sommet correspondent 

 trois substitutions fondamentales du groupe. Nous supposons de plus que 

 celles-ci sont de la forme suivante : soit (So, vj„) le sommet, et posons 



?0 



U = 5 f == 



1 



les trois substitutions fondamentales relatives à ce sommet ont la forme 



(m, V, u, V -h a), 



[u, V, u -+- tx, i> -h [iu + y), 



{u, V, Il -+-«', V -\- fi'u -+- y). 



» Dans ces conditions, comme j'ai déjà eu l'occasion de le montrer dans 

 une Communication précédente [Comptes rendus, novembre i883), le point 

 (Ç = ^g, ïj = ïj^,) est un point d'indétermination pour toute fonction hyper- 

 fuchsienne relative au groupe précédent, et cela de telle manière que, 

 quand le point (^, yj) s'approche de ['^„, vj,,), la fonction devient une fonc- 

 tion doublement périodique du rapport arbitraire ^• 



' ' ' ' 1 — Ho 



» Admettons enfin que, pour le groupe précédent, toutes les fonctions 

 hyperfuchsiennes correspondantes puissent s'exprimer rationnellement à 

 l'aide de deux d'entre elles. 



/) Soient 



