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ANALYSE MATHÉMATIQUE.— Sur les groupes d'ordre fini, contcnns dans le 

 groupe des substitutions quadratiques Creniona. Note de M. Autowe, pré- 

 sentée par M. Jordan. 



« On sait que M. Jordan a éimméré et construit les divers groupes 

 d'ordre fini contenus dans le groupe des substitutions linéaires à trois va- 

 riables (collinéations). Nous avons essayé de faire le niêine travail pour les 

 substitutions unidéterminatives et réversibles du second ordre, c'est-à-dire 

 pour les substitutions quadratiques Cremnna. 



» Une substitution quadratique Cremona et son inverse sont définies par 

 les symboles 



S = |r.,- (pi{z„z,,z,)\ S--'=|r.,. 6i{z,, z^, z,)\, (/ = i,2, 3), 



les équations 



m =zii,'^, + «2?2+ '^z?t = '^ ("(= constante arbitraire), 

 = i',0, -f- »^02 + ^'3^3 =0 (t', = constante arbitraire) 



représentant, en coordonnées homogènes c,-, deux réseaux de coniques à 

 trois points fixes, ûhsj'ondamenlaux. 



Considérons deux substitutions Cremona quadratiques 



S = |r, 9,(z)|, S'==|z, cp]{z)\; 



j'appelle produit S'S de S' par S la substitution du quatrième ordre 



Je dirai que S' et S forment un groupe quadratique Cremona, si le pro- 

 duit S'S (ainsi , bien entendu, que SS') est aussi une substitution quadratique 

 Cremona. Il faut et il suffit pour cela qu'en posant 



?',(?.' ?2, 93) = ^i{^n Z21 Sj)j 

 on ait d'abord 



a étant en z, du degré 2 au moins; les coniques 



^ = W, (|/, -+- W.,<\i., -f- H'a'l'a 



doivent ensuite former un réseau à trois points fixes. 



