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pour la composition des imlices et dont la démonstration est ficile. 

 Ainsi, le produit de deux ou plusieurs résidus est un résidu dont l'indice 

 est la somme des indices des facteurs. Une puissance d'un résidu s'obtient 

 en multipliant son indice par le degré de la puissance. Dans le calcul, on 

 peut être conduit à écrire un indice qui dépasse H ; alors on relrauche de 

 cet indice un multiple de H tel qu'il ne dépasse plus H, ce qui ne change 

 pas le résidu. En effet, on a 



a"^ 1 [mod.p], a"'^\ (mod./j), 

 quel que soit £ ; par suite 



a"'^"'=a"' (mod.p), rt„,^,„= fi,„. 



» Cela posé, soient p un nombre premier de la forme H « + i ; s un divi- 

 seur premier quelconque de H ; rt l'une des bases des résidus des puissances 

 pleines Jes nombres déterminés par le diviseur p, la relation 



a"— I ^o (mod.p) 



— i^o(mod.p), d'où, en développant, 



/ - \ / !! — (--I -\ 



\a'— i )\i + a" -h a'' +... + « "j^o (mod./>); 



donne \a' 



- H 



mais on n'a pas a' — i ^o (mod./j), puisque l'exposant —, moindre que 



H, ne peut être H ni un multiple de H; on obtient donc, en remplaçant 

 les exposants de a par les indices correspondants, la relation 



I + rti, + rt,,i+-- • + « „^o(mod.o); 



et si l'on multiplie cette dernière relation successivement par (7,, rto, ..., au, 

 il vient 



a. 



a ,, + a „„4-...-i-rt ,-_„„^o (mod./>) 



rto+rt ,1-^(1 „i,+ ...+rt ,,_,,„ï^o (mod.o), 



2+ - 2H 2H 



«11+ «211+ «311 +■••+ «11 ï^o(mod./>). 



Tous les résidus se groupent ainsi en — séries, contenant chacune z résidus, 



et, si l'on compte les indices par colonnes verticales, on reconnaît qu'ils 

 forment la suite des noudires de i à H. Tous ces résidus sont bien diffé- 



