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 rents, puisque leurs indices, qui ne tlépassent p^s H, sont différents. De 

 plus, les résidus d'une même série, élevés à la puissance z"""®, conduisent à 

 un même résidu. Ces résidus sont, pour les différentes séries, a^, <7„j, . . , , «h, 

 tous différents entre eux, et le dernier seul «„ est l'unité. Il n'y a donc 

 que les résidus de la dernière série qui, élevés à la puissance s, donnent 

 l'uuili'. 



» Je considère actuellement le polynôme 



A" '4- A" -B + . . . + AB"--+ B"-', 



dans lequel je suppose A = C", B = i . Soit p un diviseur quelconque de ce 

 polynôme; il est de la forme H«+ i. De plus, comme A est une puis- 

 sance «''""*, H est divisible par n ('). Les résidus des puissances n""'"' des 

 nombres par rapport à p peuvent donc, comme précédemment, se grou- 

 per en séries, ici z = /i, en désignant par a la base des résidus, ces séries 

 sont les précédentes, si l'on y remplace z par n. Donc, pour ce diviseur /?, 

 les n résidus ^h, «,„, • • • • «n sont les seuls qui, élevés à la puissance rù 



leiue 



floniieiit I unité. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — SuT les cqualions linéaires nnx différences 

 partielles du second ordre. Note de M. R. Liocville. 



<c Une Note que j'ai eu l'honneur de soumettre à l'Académie le 28 jan- 

 vier dernier était relative à une transformation nouvelle des équations du 

 second ordre qui contiennent linéairement les dérivées les plus élevées. 

 C'est pour les équations purement linéaires, où n'entre ni l'inconnue elle- 

 même, ni l'une des deux variables dont elle dépend, que celle transfor- 

 mation conduit aux résultats les plus simples et les plus faciles à résumer 

 succinctement. 



« Parmi toutes les équations de cette espèce, on peut en effet discerner 

 celles dont la méthode indiquée fournit l'intégration générale, leurs coef- 

 ficients étant liés par une relation connue, où figurent même des constantes 

 arbitraires, et, lorsque l'inlégrale générale reste inaccessible, on peut encore 

 former des intégrales particulières où s'introduisent des arbitraires plus ou 

 moins nombreuses; certaines de ces solutions peuvent toujours être assi- 



(1 ) roir la Note insérée dans les Comptes rendus, séance du i8 février. 



C. R., iS8;i, I" Semestre. (T. XCVIU, N" 9.) 7'» 



