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 gnées à l'avance et quelle que soit l'équation choisie dans le groupe déjà 

 défini. Soit 



une équation de la forme dont il s'agit, H, R, P et Q étant des fonctions 

 quelconques de l'une des variables indépendantes, soit y. Il est d'abord 

 aisé de reconnaître, et ceci a lieu dans tous les cas où la transformation 

 proposée s'applique à des équations linéaires, que les coefficients des 

 dérivées du second ordre demeurent invariants; l'équation transformée se 

 réduit ainsi à la suivante : 



(2) Ilr, + (K + H)J, + ^ + P,/J, 4-Q,ry, + Z,:;, =0, 



où P<, Q,, Z, désignent des fonctions de j^'. Celle-ci contenant la fonction 

 z, ne permet pas l'usage d'une transformation nouvelle, semblable à celle 

 dont on s'est servi; mais, si l'on en trouvait une solution quelconque 0, il suf- 

 firait alors de prendre comme inconnue z., = —, pour obtenir une équa- 

 tion 



(3) H/-2 + (K. + H)j2 ^t.-i-PiPi-hQ.q. ~ o, 

 débarrassée de la fonction cherchée et, par suite, propre à des transforma- 

 tions ultérieures. La substitution s. = ^ se fait encore sans changer les 



coefficients des dérivées du second ordre, et la fonction peut être obtenue 

 dans le cas le plus général, d'où résulte que l'équation (i) se prête à une 

 infinité de transformations successives, dont on peut s'aider pour la 

 résoudre. 



» Pour le prouver, après avoir désigné par H' la dérivée de II, par K' 

 celle de K, etc., nous remarquons qu'une transformée d'ordre impair 

 2/ -h I étant donnée par les formules 



I\>,v, = P.,-)-H'-K'-I-T^-, 



(4) {Q.i^,=Q2>-% 



'•2/ 



où l'on a posé, pour abréger, 



(5) ^?,• = R'-+'Q,^K•~'PsM 



