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 la transformée suivante, d'ordre pair, est au contraire déterminée par le 



système 



(G) ' 



(q.,..=Q.«., + 2Î^; 



el, si l'on convient de choisir pour Q^; une fonction dej seulement, cette 

 fonction doit satisfaire à l'équalion différentielle 



(7) C, + Q.,-^.C: + Z,,„<I>„ = 0, 



qui, à cause des relations (4), s'écrit ainsi : 



» On l'intègre donc sans peine et l'on a 



(8) C, + Q2,$.,-A„X,, = o, 



A,, étant une constante arbitraire. L'équation (8) s'intègre une seconde fois, 

 par des moyens connus, ce qui introduit une autre arbitraire; la recherche 

 générale des fonctions ne souffre donc aucune difficulté. 



» Cela étant, dans la suite des équations transformées dont l'existence 

 vient d'être établie, supposons que l'une, soit celle d'ordre a/j, admette 

 une intégrale intermédiaire, ce qui a lieu si 7w„ = o; il est aisé d'en con- 

 clure la solution générale de toutes les équations qui la précèdent, et notam- 

 ment de la proposée. Par suite, les fonctions H et K étant données, mais 

 quelconques, la forme nécessaire des coefficients P et Q qui permettent une 

 semblable intégration est donnée par les relations suivantes : 



K'+Q3„K-P,„=o, 



(y) |P.,.. = P..+ H'-K'-H|;+(Iv-hH)|, 





2 



'l'a. 



où, après avoir fait prendre au nombre i toutes les valeurs i, 2,3, ...,(/2 — 2), 

 il faut imaginer qu'on élimine P2, P,i, . . ., Po,,, Qo, Q,, ■ • •> Qsn, tn faisant 

 usage à cet effet de l'expression déjà trouvée pour les fonctions $. 



» Si l'on connaît une intégrale particulière de la transformée d'ordre 2n, 

 sans qu'il y ait lieu d'écrire l^n^ "^j i' *^" résulte, on le voit sans peine, 

 une intégrale de l'équation proposée (1); et, comme chaque traus,for:iia- 



