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 nication précédente, soient m', n\ p' les degrés respectifs des polynômes P, 

 Q, R et a,, «2» • • 7 ^// 'es p' racim^s de l'équation R == o. Si dans, l'équa- 

 tion différentielle 



(i) x(x-i)g+[(ô+£).r- 5]J:+Cr=o, 



l)(' 



on fait le changement de variable r = aj(/), il résulte des propriétés de 

 cette fonction rationnelle que la nouvelle équation n'aura d'autres points 

 singuliers, outre les points o, i, =o , que les points a,, a.^, . . .,apf, ces der- 

 niers avec les mêmes exposants de discontinuité. Il suit de là que la fonc- 

 tion x = (^[t) devra vérifier deux équations différentielles du premier 

 ordre de la forme suivante : 



, , dx 



(2) ,T7TZ 



(3) 



\jx[x — I ) 



'^{t) étant une fonction entière de t de degré 2//+ 1 au plus. Écartons le 

 cas pnrticidier où les deux nombres m et n seraient égaux à 2; des équa- 

 tions (2) et (3) on déduit une combinaison algébrique 



[(2?-i)(.r — i) + (2E — i).rp 





» Le second membre de celte relation est au plus du degré 6/>'-f- 6 et, 

 par suite, le degré de (f[t) ne pourra dépasser cette limite. Il en résulte 

 déjà qu'aucun des nombres m, n, p ne pourra dépasser 12; car, en suppo- 

 sant m'^n^p, on a toujours 



/j/>'>6/-|- 6, si /)>i2; 



on voit aussi que, pour les valeurs 7, 8, g, 10, ii attribuées à p^ p' ne 

 pourra dépasser les limites 6, 3, 2, i, i, i. 



)i On obtient des limites bieu inférieures pour ni, n, p, tn', n', p' au 

 moyen des considérations qui suivent. Si t ^= n est une racine d'ordre m 



