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 de multiplicité de l'équation !p(<) = o différente de o, i, oo , l'équation (3) 

 montre que t =^ a sera une racine de l'équation i|/(/) = o d'ordre m — 2 

 de multiplicité; les racines qui ont une des valeurs o et i doivent être ra- 

 cines au même degré de multiplicité de <]^[t) = o. Enfin, si çj(^) = o admet 

 la racine^ =: 30 au degré r de multiplicité, ^[t) sera de degré 2.p' + 2 — r, 

 et l'on trouve des conditions analogues pour les racines de l'équation ç(/)= i. 

 Inversement toute racine de l'équation '^{t) =0 doit appartenir à l'une 

 des équations (p{t)=o, o[t)=i, et si di(f) est d'un degré inférieurà 2/j'+a, 

 l'une de ces équations admettra la racine < = 00 . Appelons N, N', N" les 

 nombres des racinesdes trois équations (p{t) = o, ç(<) = i, o{t) = 00 , qui 

 ont l'une des valeurs o, i, «o , chacune étant comptée avec son degré de 

 multiplicité; on atn-a la relation 



(5) N -H W-h{in — 2) /«' + (« — 2)n'= 9.p'+ 2. 



» D'autre part, on a les relations évidentes 



, „, I N -f- mm' = N' + nn' = N" -t- pp, 



1 N+N'H-N">3, 



et les relations (5) et (6) entraînent les suivantes, que l'on pourrait aussi 

 établir direclement : 



N 4-N" + (w — '2)m' -^{i> — 2)//= 2n'+ 2, 

 1N'4-N"+ [n — 2) «'-+-(/> — '2)p'= 2?h'+ 2. 



» L'élimination de N, N', N" entre les équations (5) et (6) conduit à la 

 nouvelle inégalité 



(/H — 3)/n'+ («— 3) 7i'+ (p — 3)/?'<o, 



qui montre que, si les trois nombres /«, n, p sont supérieurs à 2, ou aura 

 forcément 



m = « ^ /> = 3 . 



» Supposons, en second lieu, m = 2, « > 2, /'i; «, on aura à rechercher 

 les solutions en nombres entiers et positifs des équations suivantes : 



M -|-N'-+- (« — 2)«'= 2/>'+ 2, 



N + 2/«' = N' + nn' = N" + pp', 



N + ]S' + N">3. 



La discussion de ces équations se fait trèsfacdement et l'on est conduit aux 



