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conclusions suivantes. Danslescas, en petitnombrp, où la somme — i 1- 



' m n p 



est supérieure ou égale à l'unité, les équations précédentes ne fournisseni 

 aucune limite poiu' les nombres m' , n' , p\ et il existe en effet une série 

 indéfinie dinlégrales rationnelles pour l'équation de Rummer. Si la somme 



\ 1 — est supérieure à l'unilé, on sait, d'après le beau Mémoire de 



m II p ' ' ' r 



jM. Schvvarz [Jaiinuil de Bonhanlt, t. 75), que l'intégrale générale de 



l'équalion hypergéométrique est algébrique. Si la somme — I 1 — est 



égale à l'unité, l'intégrale générale s'exprime au moyen des fonctions el- 

 liptiques, et le problème n'e^t qu'un cas particulier du problème de la 

 transformation des intégrales de première espèce. Enfin, si la somme 



1 h - est inférieure à l'unité, les seuls systèmes de valeur» admissibles 



m " p ' .. 



pour les nombres ni, n, p sont les suivants, en supposaut m <^^ n <i p, 



» Le nombre p' ne peut dépasser 3 dans le premier cas et l'unité dans 

 les trois autres. Il y a donc dans ce cas un nombre limilé dinlégrales ration- 

 nelles pour l'équation de Kummer. J'ai donné dans la Note précédente 

 trois exemples qui se rapportent aux deux premiers cas et au dernier. 

 On peut obtenir direclement une identité qui appartient au troisième cas; 

 si dans la formule 



[x- -+- i8x — 27)^ — 64 -îf' = {œ — i) {jc — {))' 

 on pose 



/yy . ^ / I «\ ^ '_ 



^«(a — l)/(l — «)' ' 3a(a — l)ï(l — /) ' 



OÙ a, a? désignent les racines cubiques imaginaires de l'unité, on aboutit 

 à la nouvelle formule 



— i92a(a— 1)^(1 — 0(< + ")'=(< + «')' [(^ + *')'- 27«(«-i)<( !-<)]'. 

 » On aura, pour iiutégrale correspondante, 



