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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Siif In décomposilion (le jjolynômes qui n'admettent 

 que des diviseurs premiers d'une forme déterminée ( ' ). Note de M. Lefébure, 

 présentée par M. Hermite. 



« Soit n^ le lésitlu auquel conduit C", de sorte que 



C's^rts (mod./>) 

 et par suite 



C"'=rts„,-„ C^"'^a„s„,-„ ..., C'"-"" =«„_,„„_, (rnod./p), 



la relation 



A"-* + A"^ = B 4- . . . -t- AB"-- 4- B''-' = o (mod./j) 



et la relation 



A" — I s^ o (mod./;), 



qui se déduit de la précédente, en la multipliant par A — i, deviennent, 

 en remplaçant A et B par leur valeur C" et i, 



Considérons l'un des résidus donnés par la première relation, par exemple 

 As,,,-,, il ne peut être l'unité, car alors cette relation deviendrait 



n^o (mod./^), 



ce qui est impossible. De plus, le résidu a^„,-, élevé à la puissance /('"""est 

 l'unité, en vertu de a^,,, — i ^^ o {mod . p) ; a^^^t- , est donc nécessairement 

 l'un des résidus de la série a„, «,„, . . . , a „, n„, moins le dernier a„, qui 



fi II n 



est l'unité. On peut donc poser (1^^,,,-,^=. a^^„ a étant un nombre moindre 



n 



que «; deux résidus égaux ont même indice, ou bien la différence de leurs 

 indices est un multiple de H; il en résulte l'égalité 



S«' ' = a - + sH, 



n ' 



d'où 



mais a + «£ n'est pas divisible par /«, car a est moindre que « : donc il faut 



(' ) Comptes rendus, séance du 3 mars. 



C. R., iSS'i, 1" Semestre. (T. XCVIII, N° 10.) 8o 



