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A la fin (le son article, M. Liouville dit hii-mèine que ces théorèmes 

 donnent lieu à quelques résultats curieux concernant la décomposition 

 en cinq carrés, et il exprime son intention d'exposer cela dans un autre 

 article; mais je ne crois pas qu'il ait publié cet article. 



» Quand je me suis occupé de la décomposition en sept carrés, la pre- 

 mière chose que j'ai tâché d'obtenir, c'étaient ces relations entre F, (4'") 

 et F, ('«). J'avais mené à bonne fin cette recherche, mais je sentais encore 

 le besoin de revoir mes raisoiuiements et mes calculs. Après cette revision, 

 voici les résultats, qui ne sont guèie plus compliqués que dans le cas de 

 la décomposition en cinq carrés : 



.. Soienty(A) = ^""^^^ ~ '^ , g(y^) = ^^' 3' ~ ' et F,(n) le nombre total 



des décompositions de n en se|)t carrés; alors 



F,{ll''iii)=/{k)F,{in) (m=i ou 2, mod.4), 



F,(4*///) = g(A)F,(///) {in = 5 mod.8), 



F,(4S,i) = ^Mil±ilF,(;;0 {m^^j mod.8). 



» Il serait intéressant de déduire ces relations encore des toiinules 

 elliptiques, ujais je n'ai point sérieusement aborilé cette question, a\ant 

 abandonné ces recherches aptes quelques tentatives infructueuses, et, pour 

 le mouient, d'autres travaux demandent tous mes efforts. 



» Mais voici encore un autre résultat, bien particulier certainement, 

 auquel conduit l'analyse des fonctions elliptiques : 



» Soit d parcourant le diviseur impair de 7i, 



^(,0-2(-0''^"'^ = ^(=ï) et ^(o) = i; 



alors, dans le cas n^i (mod.4), ou peut exprimer la lonclion ¥{n) de 

 M. Kronecker par la formule 



F(«) = î-|("-2/--) = ^']^(«-8/'^) (/■=o, ±:i, ±2, ...). 



A l'aide de la méthode de M. Hurwitz, on peut tirer de là la valeur de 

 F(2/i;-), en sorte que la relation générale 



F(«;>") = [/,^ + //-' + . .. + /. + !- (^=^)(/-' + ... + /; + i]f(«) 



est vérifiée maintenant, dans les cas n — k^, n = 2k'-, à l'aide des formules 

 elliptiques. » 



